必考Ⅰ部分
一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若復數z=(1+ai)?(2+i)是純虛數，則實數a的值為
A.2 B.- C. D.-2
2.如圖所示是數列一章的知識結構圖，下列說法正確的是
A.“概念”與“分類”是從屬關系
B.“等差數列”與“等比數列”是從屬關系
C.“數列”與“等差數列”是從屬關系
D.“數列”與“等比數列”是從屬關系，但“數列”與“分類”不是從屬關系
3.下列說法中錯誤的是
A.對于命題p：?x0∈R，sin x0>1，則綈p：?x∈R，sin x≤1;
B.命題“若0
C.若p∨q為真命題，則p，q均為真命題;
D.命題“若x2-x-2=0，則x=2”的逆否命題是“若x≠2，則x2-x-2≠0”.
4.“1
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.既不充分也不必要條件
D.充要條件
5.某工廠生產某種產品的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)有如下幾組樣本數據：
x 3 4 5 6
y 2.5 3 4 4.5
據相關性檢驗，這組樣本數據具有線性相關關系，通過線性回歸分析，求得其回歸直線的斜率為0.7，則這組樣本數據的回歸直線方程是
A.=0.7x+0.35 B.=0.7x+1
C.=0.7x+2.05 D.=0.7x+0.45
6.三角形的面積為S=(a+b+c)r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理可以得出四面體的體積為
A.V=abc
B.V=Sh
C.V=(S1+S2+S3+S4)r，(S1、S2、S3、S4為四個面的面積，r為內切球的半徑)
D.V=(ab+bc+ac)h，(h為四面體的高)
7.函數f(x)=x5-x4-4x3+7的極值點的個數是
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
8.已知橢圓+=1，F1、F2分別為其左、右焦點，橢圓上一點M到F1的距離是2，N是MF1的中點，則|ON|(O為原點)的長為
A.1 B.2 C.3 D.4
選擇題答題卡
題號 1 2 3 4 5 6 7 8 得 分
答案
二、填空題：本大題共5個小題，每小題5分，共25分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.
9.已知復數z=1+，則||=____________.
10.讀下面的程序框圖，當輸入的值為-5時，輸出的結果是________.
11.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案：
則第n個圖案中的白色地面磚有______________塊.
12.曲線f(x)=xsin x在點處的切線方程是______________.
13.已知雙曲線-=1(a，b>0)的頂點到漸近線的距離等于，則雙曲線的離心率e是________.
三、解答題：本大題共3小題，共35分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
14.(本小題滿分11分)
在某測試中，卷面滿分為100分，60分及以上為及格，為了調查午休對本次測試前兩個月復習效果的影響，特對復習中進行午休和不進行午休的考生進行了測試成績的統計，數據如下表所示：
分數段 [29～40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
午休考生
人數 23 47 30 21 14 31 14
不午休考
生人數 17 51 67 15 30 17 3
參考公式及數據：K2=
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
(1)根據上述表格完成列聯表：
及格人數 不及格人數 總計
午休
不午休
總計
(2)能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為午休與考生及格有關系?對今后的復習有什么指導意義?
15.(本小題滿分12分)
已知：a，b，c>0.求證：a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)≥6abc.
16.(本小題滿分12分)
已知拋物線y2=4x的焦點是F，準線是l，過焦點的直線與拋物線交于不同兩點A，B，直線OA(O為原點)交準線l于點M，設A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1) 求證：y1y2是一個定值;
(2) 求證：直線MB平行于x軸.
必考Ⅱ部分
一、填空題：本大題共1個小題，每小題5分，共5分.請把答案填在答題卷對應題號后的橫線上.
1.從拋物線x2=4y上一點P引拋物線準線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為________.
二、選擇題：本大題共1個小題，每小題5分，滿分5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
2.已知定義在R上的函數f(x)的導數是f′(x)，若f(x)是增函數且恒有f(x)>0，則下列各式中必成立的是
A.2f(-1)2f(-3)
C.2f(1)>f(2) D.3f(2)>2f(3)
三、解答題：本大題共3小題，共40分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
3.(本小題滿分13分)
已知函數f(x)=-x3+3x.
(1)求函數f(x)的單調區間和極值;
(2)當x∈[0，a]，a>0時，設f(x)的最大值是h(a)，求h(a)的表達式.
4.(本小題滿分13分)
(1)證明：xln x≥x-1;
(2)討論函數f(x)=ex-ax-1的零點個數.
5. (本小題滿分14分)
如圖，已知焦點在x軸上的橢圓+=1(b>0)有一個內含圓x2+y2=，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M，N，且⊥(O為原點).
(1)求b的值;
(2)設內含圓的任意切線l交橢圓于點A、B.
求證：⊥，并求|AB|的取值范圍.
湖南師大附中2018屆高二第一學期期末考試試題
數學(文科)參考答案
必考Ⅰ部分(100分)
6.C 【解析】△ABC的內心為O，連結OA、OB、OC，將△ABC分割為三個小三角形，這三個小三角形的高都是r，底邊長分別為a、b、c;類比：設四面體A-BCD的內切球球心為O，連接OA、OB、OC、OD，將四面體分割為四個以O為頂點，以原面為底面的四面體， 高都為r，所以有V=(S1+S2+S3+S4)r.
7.B 【解析】f′(x)=x4-4x3-12x2=x2(x+2)(x-6)，
所以f(x)有兩個極值點x=-2及x=6.
8.D 【解析】據橢圓的定義，由已知得|MF2|=8，而ON是△MF1F2的中位線，故|ON|=4.
二、填空題
9.
10.2 【解析】①A=-5<0，②A=-5+2=-3<0，③A=-3+2=-1<0，
�、蹵=-1+2=1>0，⑤A=2×1=2.
11.4n+2 【解析】第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊，第三個圖案中有14塊，歸納為：第n個圖案中有4n+2塊.
12.x-y=0
13. 【解析】由題意知=tan 30°=?e==.
∵K2≈5.7>5.024，
因此，有97.5%的把握認為午休與考生及格有關系，即能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為午休與考生及格有關系.(10分)
對今后的復習的指導意義就是：在以后的復習中，考生應盡量適當午休，以保持最佳的學習狀態.(11分)
(2)據題意設A，M(-1，yM)，(8分)
由A、M、O三點共線有=?y1yM=-4，(10分)
又y1y2=-4
則y2=yM，故直線MB平行于x軸.(12分)
必考Ⅱ部分(50分)
一、填空題
1.10 【解析】設P(xP，yP)，∵|PM|=|PF|=yP+1=5，∴yP=4，
則|xP|=4，S△MPF=|MP||xP|=10.
二、選擇題
2.B 【解析】由選擇支分析可考查函數y=的單調性，而f′(x)>0且f(x)>0，則當x<0時′=<0，
即函數在(-∞，0)上單調遞減，故選B.
三、解答題
3.【解析】(1)f′(x)=-3x2+3=-3(x+1)(x-1)(2分)
列表如下：
x (-∞，-1) -1 (-1，1) 1 (1，+∞)
f′(x) - 0 + 0 -
f(x) 遞減 極小值 遞增 極大值 遞減
所以：f(x)的遞減區間有：(-∞，-1)，(1，+∞)，遞增區間是(-1，1);
f極小值(x)=f(-1)=-2，f極大值(x)=f(1)=2.(7分)
(2)由(1)知，當0
此時fmax(x)=f(a)=-a3+3a;(9分)
當a>1時，f(x)在(0，1)上遞增，在(1，a)上遞減，
即當x∈[0，a]時fmax(x)=f(1)=2(12分)
綜上有h(a)=(13分)
4.【解析】 (1)設函數φ(x)=xln x-x+1，則φ′(x)=ln x(1分)
則φ(x)在(0，1)上遞減，在(1，+∞)上遞增，(3分)
φ(x)有極小值φ(1)，也是函數φ(x)的最小值，則φ(x)≥φ(1)=1×ln 1-1+1=0
故xln x≥x-1.(5分)
(2)f′(x)=ex-a(6分)
�、賏≤0時，f′(x)>0，f(x)是單調遞增函數，又f(0)=0，
所以此時函數有且僅有一個零點x=0;(7分)
�、诋攁>0時，函數f(x)在(-∞，ln a)上遞減，在(ln a，+∞)上遞增，
函數f(x)有極小值f(ln a)=a-aln a-1(8分)
?.當a=1時，函數的極小值f(ln a)=f(0)=a-aln a-1=0
則函數f(x)僅有一個零點x=0;(10分)
?.當01時，由(1)知極小值f(ln a)=a-aln a-1<0，又f(0)=0
當0
故此時f(x)?+∞，則f(x)還必恰有一個小于ln a的負根;
當a>1時，2ln a>ln a>0，計算f(2ln a)=a2-2aln a-1
考查函數g(x)=x2-2xln x-1(x>1) ，則g′(x)=2(x-1-ln x)，
再設h(x)=x-1-ln x(x>1)，h′(x)=1-=>0
故h(x)在(1，+∞)遞增，則h(x)>h(1)=1-1-ln 1=0，
所以g′(x)>0，即g(x)在(1，+∞)上遞增，則g(x)>g(1)=12-2×1×ln 1-1=0
即f(2ln a)=a2-2aln a-1>0，
則f(x)還必恰有一個屬于(ln a，2 ln a)的正根.
故01時函數f(x)都是恰有兩個零點.
綜上：當a∈(-∞，0]∪{1}時，函數f(x)恰有一個零點x=0，
當a∈(0，1)∪(1，+∞)時函數f(x)恰有兩個不同零點. (13分)
5.【解析】(1)當MN⊥x軸時，MN的方程是x=±，
設M，N
由⊥知|y1|=，
即點在橢圓上，代入橢圓方程得b=2.(3分)
(2)當l⊥x軸時，由(1)知⊥;
當l不與x軸垂直時，設l的方程是：y=kx+m，即kx-y+m=0
則=?3m2=8(1+k2)(5分)
?(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,
Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=(4k2+1)>0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)
則，(7分)
x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2
-+m25ykj.cn
==0，即⊥.
即橢圓的內含圓x2+y2=的任意切線l交橢圓于點A、B時總有⊥.(9分)
(2)當l⊥x軸時，易知|AB|=2=(10分)
當l不與x軸垂直時，|AB|==
=(12分)
設t=1+2k2∈[1，+∞)，∈(0，1]
則|AB|==
所以當=即k=±時|AB|取最大值2，
當=1即k=0時|AB|取最小值，
(或用導數求函數f(t)=，t∈[1，+∞)的最大值與最小值)
綜上|AB|∈.(14分)
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