數學理科試題
一、選擇題（本大題共有12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四選項中只有一項是符合題目要求的。）
1.拋物線的準線方程為（ ）
A B C D
2.下列方程中表示相同曲線的是（ ）
A ， B ，
C ， D ，
3.已知橢圓的焦點為和，點在橢圓上，則橢圓的標準方程為（ ）
A B C D
4.已知雙曲線的離心率為，則的漸近線方程為（ ）
A B C D
5.與圓及圓都外切的圓的圓心在（ ）
A 一個橢圓上 B 雙曲線的一支上 C 一條拋物線 D 一個圓上
6.點在雙曲線上，且的焦距為4，則它的離心率為
A 2 B 4 C D
7.已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，且，則線段的中點到拋物線準線的距離為（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
8．過點且與拋物線只有一個公共點的直線有（ ）
A 1條 B 2條 C 3條 D 無數條
9．設是雙曲線的兩個焦點，點在雙曲線上，且，則點到軸的距離為（ ）
A B 3 C D
10．以下四個關于圓錐曲線的命題中正確的個數為（ ）
①曲線與曲線有相同的焦點；
②方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；
③過橢圓的右焦點作動直線與橢圓交于兩點，是橢圓的左焦點，則的周長不為定值。
④過拋物線的焦點作直線與拋物線交于A、B兩點，則使它們的橫坐標之和等于5的直線有且只有兩條。
A 1個 B 2個 C 3個 D 4個
11．若點和點分別為橢圓的中心和左焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最大值為（ ）
A 18 B 24 C 28 D 32
12．拋物線的焦點為，準線為，，是拋物線上的兩個動點，且滿足，過線段的中點作直線的垂線，垂足為，則的最大值，是（ ）
A B C D
二、填空題（本大題共有4個小題，每小題5分，共20分）
13．已知點在拋物線的準線上，拋物線的焦點為，則直線的斜率為 。
14．過雙曲線左焦點的直線交雙曲線的左支于兩點，為其右焦點，則的值為
15．直三棱柱中，分別是的中點，
，則與所成角的余弦值為 。
16．設點是曲線上任意一點，其坐標均滿足，則的取值范圍為 。
三、解答題
17．（10分）在極坐標系中，求圓的圓心到直線的距離。

18．（12分）如圖（1），在中，點分別是的中點，將沿折起到的位置，使如圖（2）所示，M為的中點，
求與面所成角的正弦值。

19．（12分）經過橢圓的左焦點作直線，與橢圓交于兩點，且，求直線的方程。

20．（12分）如圖，在長方體中，，點E在棱上移動。
（1）證明：；
（2）等于何值時，二面角的余弦值為。

21.（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓C的長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A，B兩點，是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過坐標原點O？若存在，求

求出k的值；若不存在，請說明理由．

22．（12分）已知拋物線C的頂點為坐標原點，焦點為，
（1）求拋物線的方程；
（2）過點 作直線交拋物線于兩點，若直線分別與直線交于兩點，求的取值范圍。

牡一中2018-2019上學期高二理科數學期中試題參考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C D B D B A B C C B C B
13 14 15 16
16
三、解答題：
17.（10分）解：圓的方程為，圓心為；直線為，距離
18.（12分）與面所成角的正弦值為
19.（12分）解：當直線斜率不存在時，不符合題意；當直線斜率存在時，設直線，與橢圓方程聯立得，由弦長公式得，直線方程為或。
20、（12分）（2）當時，二面角的余弦值為。
21、（1）設橢圓的焦半距為c，則由題設，得，
解得，所以，
故所求橢圓C的方程為．
（2）存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．
理由如下：
設點，，
將直線的方程代入，
并整理，得．（*）
則，．
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O，
所以，即．
又
于是，解得，
經檢驗知：此時（*）式的Δ＞0，符合題意．
所以當時，以線段AB為直徑的圓恰好經過坐標原點O．
22、解：(1)(2)設，直線AB的方程為代入得，，由得，同理，所以＝，令，則，
則，范圍為

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