數學（小班）試題
（滿分150分，時間120分鐘）
一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.
1．某校對高二年級進行了一次學業水平模塊測試，從該年級學生中隨機抽取部分學生，將他們的數學測試成績分為6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]加以統計，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高二年級共有學生1200名，若成績不少于80分的為優秀，據此估計，高二年級在這次測試中數學成績優秀的學生人數為
A．30 B．120 C．180 D．300
2．某籃球隊甲、乙兩名運動員練習罰球，每人練習10組，每組罰球40個．命中個數的莖葉圖如圖．則下面結論中錯誤的一個是
A．甲的極差是29 B．乙的眾數是21
C．甲罰球命中率比乙高 D．甲的中位數是24
3． 的展開式的常數項是
A． B． C．12 D．8
4．如圖圓C內切于扇形AOB，∠AOB= ，若在扇形AOB內任取一點，則該點不在圓C內的概率為
A． B． C． D．
5．某產品的廣告費用x與銷售額y的統計數 據如下表
廣告費用x（萬元） 4 2 3 5
銷售額y（萬元） 49 26 ] 39 54
根據上表可得回歸方程 的 為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為
A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元
6．高二年級學生要安排元旦晚會的4個音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，則兩個舞蹈節目不連排的概率是
A． B． C． D．
7．某公司新招聘10名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一部門，則不同的分配方案共有
A. 120種 B. 240種 C. 380種 D. 1080種
8．某程序框圖如 圖所示，則該程序運行后輸出的S的值為

A．1 B． C． D．
9．在 的展開式中，含有 但不含有 的項的系數之和為
A.1024 B. 1023 C. D.
10．由1、2、3、4、5、6組成沒有重復數字且2、4都不與6相鄰的六位偶數的個數是
A．108 B．126 C． 144 D．180
11．算法程序框圖如圖所示，若 ，則輸出的結果是
A． B．a C．b D．c
12．設a,b,m為整數（m>0），若a和b被m除得的余數相同，則稱a和b對模m同余 ，記作 。已知 ，且 ，則b的值可以是
A．2018 B． 2018 C．2019 D． 2019
二．填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13．采用系統抽樣方法從1000人中抽取50人做問卷調查，為此將他們隨機編號為1，2，…，1000，適當分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為8．抽到的50人中，編號落入區間 [1，400]的人做問卷A，編號落入區間[401，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C．則抽到的人中，做問卷B的人數為_______.
14．下圖是求10個樣本數據平均數x的程序框圖，圖中空白框中應填入的內容為____________.

15．國慶節前夕，小 張在陽臺上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的閃亮相互獨立，且都在 通電后的5秒內任一時刻 開始第一次閃亮，然后每串彩燈以5秒為間隔閃亮。當這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮 的時刻相差不超過2秒的概率是________．
16．有8張卡片分別標有數字1，2，3，4，5 ，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數字之和為8，則不同的排法共有_________ 種(用數字作答).
三．解答題：本大題共6小題，共70分.
17. （本小題滿分10分）
已知 的展開式中，前三項系數的絕對值依次成等差數列，
（1）求展開式中二項式系數最大的項；（2）求展開式中所有的有理項
18．（本小題滿分12分）
某農科所對冬季晝夜溫差大 小與某反季節大豆新品種發芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100顆種子中的發芽數，得到如下資料：

R>日 期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日5ykj.cn 12月5日
溫差x（°C） 10 11 13 12 8
發芽數y（顆） 23 25 30 26 16
該農科所確定 的研究方案是：先從這五組數據中選取2組，用剩下的3組數據求線性回歸方程，再對被選取的2組數據進行檢驗．
（1 ）求選取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率；
（2）若選取的是12月1日 與12月5日的兩組數據，請根據12月2日至12月4日的數據，求出y關于x的線性回歸方程 ；
參考公式：
（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（2）中所得的線性回歸方程是否可靠？
[來源:Z*xx*k.Com]
19．（本小題滿分12分）
5個人坐在一排8個座位上，問
（1）空位不相鄰的坐法有多少種?(用數字作答)
（2）3個空位只有2個相鄰的坐法有 多少種? (用數字作答)
（3）5 個人中的甲乙兩人不相鄰的坐法有多少種? (用數字作答)

20. （本小題滿分12分）
一個袋子里裝有7個小球，其中有紅球4個，編號分別為1，2，3，4；白球3個，編號分別為1，2，3。從袋子中任取4個球（假設取到任何一個球的可能性相同）。
（1）求取出的4個球中，含有編號為2的球的概率；
（2）在取出的4個球中，有紅球和白球，且紅球的最大編號大于白球的最大編號的概率。

21.（本小題滿分12分）
設A、B是橢圓 上的兩點，點P（1，2）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.
（1）確定 的取值范圍，并求直線AB的方程；
（2）試判斷是否存在這樣的 ，使得A、B、C、D四個點在同一個圓上？并說明理由.

22．（本小題滿分1 2分）
已知 ，函數 ， （其中 為自然對數的底數）．
（1）若函數 在區間 上的最小值是 ，求實數a的值；
（2）是否存在實數 ，使曲線 在點 處的切線與 軸垂直?請說明理由．
（3）求實數a的取值范圍，使得在區間 上，函數 的圖象恒在 的圖象下方。

重慶市第十一中學校高2018級半期考試
數學（小班）參考答案
一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分）
DDABB CAABD BC
二、 填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13． 18 14．S=S+x 15. 16．1632
三 、解答題：（本大題共6小題，共70 分）
17．（本小題滿分10分）
解：由題意： ，即 ，∴ 舍去）
…………4分
（1）展開式中二項式系數最大的項是 ；……6分
（2）若 是有理項，當且僅當 為整數，
∴ ，∴ ，
即 展開式中有三項有理項，分別是： ， ， …………10分
18. （本小題滿分12分）
解：（1）設抽到不相鄰的兩組數據為事件A，
從5組 數據中選取2組數
據共有10種情況：（1，2）
（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）
（3，4）（3，5）（4，5），
其中數據為12月份的日期數．
每種情況都是可能出現的，事件A包括的基本事件有6種．
∴P（A）= ．
∴選 取的2組數據恰好是不相鄰2天數據的概率是 ………………4分
（2）由數據，求得 ．
由公式，求得b=
∴y關于x的線性回歸方程為 x?3．………………………………8分
（3）當x=10時， ×10?3=22，|22?23|＜2；
同樣當x=8時， ×8?3=17，|17?16|＜2；
∴該研究所得到的回歸方程是可靠的．………………………………12分
19. （本小題滿分12分）
解：（1） ……… ………4分
（2） ……………………8分
（3） ……………………12分
20.（本小題滿分12分）
解：（1） 或 …………6分
（2） …………12分
21. （本小題滿分12分）
解：（1）依題意，可設直線AB的方程為 ，代入橢圓方程整理得
①
設 是方程①的兩個不同的根，
∴ ②
且 由P（1，2）是線段AB的中點，得
解得k=－1，代入

②得 ，
則 的取值范圍是（6，+∞），于是，直線AB的方程為 ……6分
（2）∵CD垂直平分AB，∴直線CD的方程為y－2=x－1，即x－y+1=0，
代入橢圓方程，整理得 ③
又設 CD的中點為 ， 是方程③的兩根，
∴ ，則 ………………8分
于是由弦長公式可得 ④
將直線AB的方程x+y－3=0，代入橢圓方程得 ⑤
同理可得 ⑥
若A、B、C 、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.
點M到直線AB的距 離為 ⑦
于是，由④、⑥、⑦式可得
，
故當 >6時，A 、B、C、D四點都在以M為圓心， 為半徑的圓上.……12分
22．（本小題滿分12分）
解：（1 ）∵ ，∴ ．
令 ，得 ．
①若 ，則 ， 在區間 上單調遞增，
舍去；
②若 ，當 時， ，函數 在區間 上單調遞減，
當 時， ，函數 在區間 上單調遞增，
，得 ；
③若 ，則 ，函數 在區間 上單調遞減，
，得 舍去；
綜上， �！�…………………………………………………………………4 分
（2）∵ ， ，

由（1）可知，當 時， ．
此時 在區間 上的最小值為 ，則 ．
當 ， ， ，
∴ ．
曲線 在點 處的切線與 軸垂直等價于方程 有實數解．
而 ，即方程 無實數 解．
故不存在 ，使曲線 在 處的切線與 軸垂直。……8分
（3）由題意得 ，即 在 上恒成立，
令 ，則
令 ，則 ，
當 ， ，當 ， ，
，
則 在 上恒成立， 在 上是增函數，
……………………………………………………12分

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