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第一章 數列
§1　數 列
1.1　數列的概念
雙基達標　限時20分鐘
1．將正整數的前5個數排成：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,3,5,4,1；④1,4,5,3,2.則可稱為數列的有 (　　)．
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
解析　根據數列的定義和性質可知選D.
答案　D
2．數列23，45，67，89，…的第10項是 (　　)．
A.1617 B.1819 C.2021 D.2223
解析　由題意知數列的通項公式是an＝2n2n＋1，∴a10＝2×102×10＋1＝2021.故選C.
答案　C
3．如圖，在下列四個圖形中，著色三角形的個數依次構成一個數列的前4項，則這個數列的一個通項公式為 (　　)．

A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
解析　這4個著色三角形的個數依次為1,3,9,27，都是3的指數冪，猜想數列的通項公式
為an＝3n－1.
答案　A
4．數列1,2,4,8,16,32…的一個通項公式為________．
解析　由a1＝20，a2＝21，a3＝22，a4＝23，…易得an＝2n－1.
答案　an＝2n－1
5．600是數列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第________項．
解析　an＝n(n＋1)＝600＝24×25，n＝24.
答案　24
6．觀察下面數列的特點，用適當的數，并寫出每個數列的一個通項公式：
(1)34，23，712，(　　)，512，13，…
(2)53，(　　)，1715，2624，3735，…
(3)2,1，(　　)，12，…
(4)32，94，(　　)，6516，…
解　(1)根據觀察：分母的最小公倍數為12，把各項都改寫成以12為分母的分數，則

于是括號內填612，而分子恰為10減序號．
故括號內填12，通項公式為an＝10－n12.
(2)53＝4＋14－1，1715＝16＋116－1，2624＝25＋125－1，
3735＝36＋136－1.
只要按上面形式把原數改寫，便可發現各項與序號的對應關系：分子為序號加1的平方與1的和的算術平方根，分母為序號加1的平方與1的差．
故括號內填108，通項公式為an＝n＋12＋1n＋12－1.
(3)因為2＝21，1＝22，12＝24，所以數列缺少部分為23，數列的通項公式為an＝2n.
(4)先將原數列變形為112，214，(　　)，4116，…，所以應填318，數列的通項公式為an＝n＋12n.

綜合提高 （限時25分鐘）
7．下列說法正確的是 (　　)．
A．數列可以看做是一個定義域為正整數集N＋的函數
B．數列可以看做是一個定義域為正整數集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數值
C．數列可以看做是一個定義域為正整數集N＋(或它的有限子集)的函數
D．數列可以看做是一個定義域為正整數集N＋(或它的有限子集)的函數值
解析　B中的{1,2,3，…，n}不能省略，如果只留下“N＋(或其有限子集)”幾個字，很容
易產生誤解．同時不能認為只有定義在N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函數將其函
數值排列好才形成數列．例如定義在實數集R上的函數y＝f(x)，函數值f(0)，f(2)，f(3)，
f(π)，…就是一個數列．它與數列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…是不同的數列．這說明：
數列可以看成一類特殊函數的有序排列好的函數值，但不是這樣的特殊函數，其函數值也
能有序排列好，從而形成數列．
答案　B
8．在數列1,3,6,10，x,21,28，…中，由給出的數之間的關系可知x的值是 (　　)．
A．12 B．15 C．17 D．18
解析　觀察發現相鄰兩項分別相差2,3,4，？，？，7，…，依據規律兩個？，？依次為5,6，
∴x＝10＋5＝15.
答案　B
9．數列－12，34，－78，1516，－3132，…的一個通項公式是________．
解析　數列的奇數項為負數，偶數項為正數，所以借助(－1)n來確定符號，易看出各項分
母分別為21,22,23,24,25，…，且每一項的分子比分母少1，所以這個數列的通項公式為an
＝(－1)n2n－12n.
答案　an＝(－1)n2n－12n
10．根據下列5個圖形中相應點的個數的變化規律，猜測第n個圖形中有________個點．

解析　觀察圖中5個圖形點的個數分別為1,1×2＋1,2×3＋1,3×4＋1,4×5＋1，故第n個
圖中點的個數為(n－1)n＋1.
答案　n2－n＋1
11．已知數列{an}的每一項是它的序號的算術平方根加上序號的2倍．
(1)求這個數列的第4項與第25項；
(2)253和153是不是這個數列中的項？如果是，是第幾項？
解　(1)由題設條件知an＝n＋2n.
∴a4＝4＋2×4＝10，a25＝25＋2×25＝55.
(2)假設253是這個數列中的項，則253＝n＋2n，解得n＝121.∴253是這個數列的第121項．假設153是這個數列中的項，則153＝n＋2n，解得n＝7214，這與n是正整數矛盾，∴153不是這個數列中的項．
12．(創新拓展)寫出數列13＋2,13＋6,13＋12,13＋20,13＋30，…的一個通項公式，并驗證2 563是否是該數列中的一項．
解　該數列的項為13＋1×2,13＋2×3,13＋3×4，….故其通項公式可以為an＝13＋n(n＋1)(n∈N＋)．
令13＋n(n＋1)＝2 563，則n2＋n＝2 550.
解得n＝50或n＝－51(舍去)．
∴2 563是該數列中的第50項．

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