高二下學期第一次月考（3月）聯考數學（理）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩卷，滿分150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共1個小題，每小題5分，共0分1.設l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內，則“lα”是“lm且ln”的(　 　)A．充分不必要條件　　　B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知直線m、n和平面α、β滿足mn，mα，αβ，則( 　　)A．nβ B．nβ，或nβC．nα D．nα，或nα3..若平面α平面β，直線a平面α，點Bβ，則在平面β內且過B點的所有直線中 (　　)A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　 　)A.a2　　　B．2a2　　C.a2　　　D.a2如圖,若一個空間幾何體的三視圖中,正視圖和側視圖都是直角三角形,其直角邊均為1,則該幾何體的體積為A．B．C．D．1C．至多有兩個直角三角形D．可能都是直角三角形7．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF＝，則下列結論中錯誤的是(　 　)A．ACBE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值D．AEF的面積與BEF的面積相等．已知矩形ABCD的面積為8，當矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球表面積等于(　　)A．8π B．16πC．48π D．不確定的實數 B．C． D．10.三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，則下面四個圖象中大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x變化關系(x∈(0,3))是 ( )第Ⅱ卷二、填空題（本大題共小題，每小題分，共分設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一個動點,則PM的最小值為 . 13．中， ，則一只小蟲從A點沿長方體的表面爬到點的最短距離是 。 14．在棱長為1的正方體AC1中，E為AB的中點，點P為側面BB1C1C內一動點(含邊界)，若動點P始終滿足PEBD1，則動點P的軌跡的長度為________．. 四面體ABCD中，有以下命題：①若AC⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；②若E、F、G分別是BC，AB，CD的中點，則∠EFG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大小；③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四個面是全等的三角形，則ABCD為正四面體．其中正確命題序號是 ．三、解答題：本大題共6個小題，共7分16.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中點。（1）求證：BC1//平面CA1D；（2）求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B。17. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。（1）設M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積。18.在直三棱柱中，，，且異面直線與 所成的角等于，設． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�19.如圖所示，已知PAO所在平面，AB是O的直徑，點C是O上任意一點，過A作AEPC于點E，AFPB于點F，求證：(1)AE平面PBC；(2)平面PAC平面PBC；(3)PBEF.20.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是DAB＝60°的菱形，側面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)求證：ADPB.(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF平面ABCD？并證明你的結論．高二高二理科數學 參考答案1~10 ADABA DDBBA11~15 6πa2 2 ①③16.解答：（1）連接AC1交A1C于E，連接DE，∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點。又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。又ΔPAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO=。18.解:（1），就是異面直線與所成的角，即，……（2分）連接，又，則為等邊三角形，……………………………4分由，，；………5分 （2）取的中點，連接，過作于，連接，,平面 又，所以平面，即，所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角�！�………7分在中，，，,，…………………………11分因此平面與平面所成的銳二面角的大小為。…………12分說明：取的中點，連接，…………同樣給分（也給12分）19證明：(1)因為AB是O的直徑，所以ACB＝90°，即ACBC.又因為PAO所在平面，即PA平面ABC.又BC平面ABC，所以BCPA.又因為AC∩PA＝A，所以BC平面PAC.因為AE平面PAC，所以BCAE.又已知AEPC，PC∩BC＝C，所以AE平面PBC.(2)因為AE平面PBC，且AE平面PAC，所以平面PAC平面PBC.(3)因為AE平面PBC，且PB平面PBC，所以AEPB.又AFPB于點F，且AF∩AE＝A，所以PB平面AEF.又因為EF平面AEF，所以PBEF.解析：(1)方法一，如圖，取AD中點G，連接PG，BG，BD.∵△PAD為等邊三角形，PG⊥AD，又平面PAD平面ABCD，PG⊥平面ABCD.在ABD中，A＝60°，AD＝AB，ABD為等邊三角形，BG⊥AD，AD⊥平面PBG，AD⊥PB.方法二，如圖，取AD中點GPAD為正三角形，PG⊥AD又易知ABD為正三角形AD⊥BG.又BG，PG為平面PBG內的兩條相交直線，AD⊥平面PBG.AD⊥PB. (2)連接CG與DE相交于H點，在PGC中作HFPG，交PC于F點，FH⊥平面ABCD，平面DHF平面ABCD，H是CG的中點，F是PC的中點，在PC上存在一點F，即為PC的中點，使得平面DEF平面ABCD.平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。（2）過點C在平面PAC內作CH⊥PA，垂足為H，連接HB。因為BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。（3）如圖，設PB的中點為K，連接KC，AK，因為ΔPCB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因為AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內，過點F作FM⊥AK，垂足為M。因為平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=，FM=，所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是！第10頁 共10頁學優高考網��！EFC1B1A1CBA江西省南昌市八一中學、洪都中學、麻丘中學2015-2016學年高二下學期第一次月考（3月）聯考數學（理）試題
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