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同步檢測訓練
一、
1．不在3x＋2y>3表示的平面區域內的點是(　　)
A．(0,0)　　　　　　　　　　B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
解析：∵3×0＋2×0>3不成立，∴選A.
答案：A
2．不等式x＋2y－6<0表示的區域在直線x＋2y－6＝0的(　　)
A．右上方 B．左上方
C．右下方 D．左下方
解析：直線x＋2y－6＝0過點(6,0)和點(0,3)，又0＋2×0－6<0，故選D.
答案：D
3．不等式組y>xx＋y≤1y≤3表示的區域為D，點P1(0，－2)，點P2(0,0)，則(　　)
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
解析：∵0<－2不成立，∴P1?D，又∵0>0不成立，
∴P2?D，故選A.
答案：A
4．右圖中的陰影部分表示的區域可用不等式組表示為(　　)
A.y≤2，2x＋y－4≥0
B.0≤y≤2，x≤0，2x＋y－4≥0
C.0≤y≤2，x≤0，2x－y＋4≥0
D.0≤y≤2，2x－y＋4≤0，x≤0
解析：由圖知0≤y≤2x≤02x－y＋4≥0，故選C.
答案：C
5．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面區域是(　　)
解析：原不等式等價于：
x－2y＋1>0x＋y－3<0或x－2y＋1<0，x＋y－3>0.，故選C.
答案：C
6．如下圖所示，不等式x(y－x－1)>0表示的平面區域是(　　)
解析：由x(y－x－1)>0
?x>0，y－x－1>0或x<0，y－x－1<0.
則表示y軸與直線y－x－1＝0的對頂區域，故選B.
答案：B
7．不等式3x＋2y＋c≤8表示的平面區域總包含點(0,1)，(1,1)，則c的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－8]∪[3，＋∞) B．[－10,3]
C．(－∞，－13)∪[8，＋∞) D．[－8,3]
解析：由不等式3x＋2y＋c≤8表示的平面區域總包含點(0,1)，(1,1)得2＋c≤8，5＋c≤8，解得－10≤c≤3，故選B.
答案：B
8．不等式組?x－2?2＋?y＋2?2≤4，y－k?x－2?＋2≤0表示的平面區域面積是(　　)
A．2π B．4π
C．2π－33 D．與k值有關
解析：不等式(x－2)2＋(y＋2)2≤4表示的平面區域是圓(x－2)2＋(y＋2)2＝4的邊界及內部點的集合，不等式y－k(x－2)＋2≤0表示的平面區域是過定點(2，－2)的直線及y－k(x－2)＋2＝0的下方點的集合，其相交部分是一個半圓，所以S＝12×π×22＝2π，故選A.
答案：A
9．若二次函數y＝ax2＋bx＋a與x軸無交點，則點(a，b)在aOb平面上的區域(不含邊界)為(　　)
解析：若a>0時，二次函數圖像與x軸無交點，
∴Δ＝b2－4a2<0，
∴b＋2a>0，b－2a<0.
若a<0時二次函數與x軸無交點，
∴Δ＝b2－4a2<0，
∴b－2a>0，b＋2a<0.故選D.
答案：D
10．如果點P在平面區域2x－y＋2≥0x＋y－2≤02y－1≥0上，Q點在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，那么PQ的最小值為(　　)
A.32 B.45－1
C．2－2 D.2－1
解析：如下圖所示，點P取點(0，12)，Q取點(0，－1)時，PQ有最小值為32.故選A.
答案：A
二、題
11．原點和點(1,1)在直線x＋y－a＝0的兩側，則a的取值范圍是________．
解析：設F(x，y)＝x＋y－a，
由題意知F(0,0)?F(1,1)<0，
即－a(2－a)<0，
∴0答案：(0,2)
12．已知點P(1，－2)及其關于原點的對稱點均在不等式2x＋by＋1>0表示的平面區域內，則b的取值范圍是________．
解析：由題意得，點P(1，－2)關于原點的對稱點為P′(－1,2)，∴2×1－2b＋1>02×?－1?＋2b＋1>0
解得：12答案：(12，32)
13．不等式組x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0表示的平面區域的面積是________．
解析：做出相應的平面區域如下圖陰影部分：
S△ABC＝12?AB?xc＝12?4?1＝2.
答案：2
14．以原點為圓心的圓全部在區域x－3y＋6≥0，x－y＋2≥0的內部，則圓的面積的最大值為________．
解析：根據條件畫出平面區域如下圖中陰影所示，要使以原點為圓心的圓的面積最大，則圓與直線x－y＋2＝0相切．此時半徑r＝0－0＋22＝2，此時圓面積為S＝π(2)2＝2π.
答案：2π
三、解答題
15．畫出不等式組2x－y＋2≥0，x＋2y<6，x≥0，y≥0表示的平面區域．
解析：不等式2x－y＋2≥0表示直線2x－y＋2＝0及右下方的點的集合；不等式x＋2y<6表示直線x＋2y－6＝0左下方的點的集合；不等式x≥0表示y軸及y軸右方的點的集合；y≥0表示x軸及x軸上方的點的集合．所以不等式組所表示的平面區域為如下圖所示的陰影部分．
16．畫出不等式組y－2x≤0，x＋2y＋3>0，5x＋3y－5<0所表示的平面區域，并求平面區域內有多少個整點．
解析：不等式y－2x≤0表示直線y－2x＝0的右下方區域(含邊界)，x＋2y＋3>0表示直線x＋2y＋3＝0右上方區域(不含邊界)，5x＋3y－5<0表示直線5x＋3y－5＝0左下方區域(不含邊界)，所以不等式組表示的平面區域是上述三區域的公共部分，如下圖所示的△ABC區域．
可求得A(－35，－65)，B(511，1011)，C(197，－207)，所以△ABC區域內的點(x，y)滿足－35∵x，y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x，y∈Z.
經檢驗，共有四個整點(0,0)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－2)．
17．設滿足y≥x－a的點(x，y)的集合為A，滿足y≤－x＋b的點(x，y)的集合為B，其中a，b為正數，且A∩B≠?.
(1)a，b之間有什么關系？
(2)求A∩B表示的圖形的面積．
解析：(1)作函數y＝x－a及y＝－x＋b的圖像，畫出y≥x－a及y≤－x＋b表示的區域，
如下圖，可知，若A∩B≠?，則b≥a.
(2)當b>a時，A∩B表示一矩形區域，各邊所在直線方程分別為x－y－a＝0，x－y＋b＝0，x＋y－a＝0，x＋y－b＝0.
矩形兩邊長分別為d1＝a＋b2，d2＝a－b2.
∴S矩形＝d1?d2＝a＋b2?a－b2＝12(b2－a2)，
∴所求面積S＝12(b2－a2)．
18．不等式組y≤2，x≤y≤x＋1表示的幾何圖形的面積是多少？
解析：原不等式組可化為
y≤2，x≥0，x≤y≤x＋1，①或x<0，y≤2，－x≤y≤－x＋1.②
故原不等式組的圖像由不等式組①和②表示的兩圖像組合而成，如圖，易知矩形OABC面積為2×2＝4，故△OAB的面積為2，其內部等腰梯形面積為2－12×1×1＝32，所以所求不等式組所表示的圖形面積為2×32＝3.


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