第三章 導數及其應用
3．1　變化率與導數
3．1．1　變化率問題

雙基達標�。ㄏ迺r20分鐘）
1．函數y＝f(x)在x0到x0＋Δx之間的平均變化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx中，Δx不可能是(　　)．
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
答案　C
2．如果質點按規律s＝3＋t2運動，則在一小段時間[2，2.1]中相應的平均速度是(　　)．
A．4 B．4.1 C．0.41 D．3
解析　 ＝（3＋2.12）－（3＋22）0.1＝4.1.
答案　B
3．函數y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之間的平均變化率為(　　)．
A．Δx＋2 B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3 D．3Δx＋(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝
（1＋Δx）2＋（1＋Δx）－（12＋1）Δx＝Δx＋3.
答案　C
4．已知函數y＝2＋1x，當x由1變到2時，函數的增量Δy＝________．
解析　Δy＝2＋12－(2＋1)＝－12.
答案�。�12
5．一個作直線運動的物體，其位移s與時間t的關系是s＝3t－t2，則物體在t＝0到t＝2之間的平均速度為________．
解析　物體在t＝0到t＝2之間的平均速度為（3×2－22）－02－0＝1.
答案　1
6．已知函數f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分別計算在下列區間上f(x)及g(x)的平均變化率；
(1)[－3，－1]；(2)[0，5]．
解　(1)函數f(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率為
f（－1）－f（－3）（－1）－（－3）＝[2×（－1）＋1]－[2×（－3）＋1]2＝2，
g(x)在區間[－3，－1]上的平均變化率為
g（－1）－g（－3）（－1）－（－3）＝[－2×（－1）]－[－2×（－3）]2＝－2.
(2)函數f(x)在區間[0，5]上的平均變化率為
f（5）－f（0）5－0＝（2×5＋1）－（2×0＋1）5＝2，
g(x)在區間[0，5]上的平均變化率為
g（5）－g（0）5－0＝－2×5－（－2×0）5＝－2.
綜合提高�。ㄏ迺r25分鐘）
7．已知函數f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則ΔyΔx等于(　　)．
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
解析　ΔyΔx＝f（1＋Δx）－f（1）Δx＝2（1＋Δx）2－2Δx＝4＋2Δx.
答案　C
8．一質點的運動方程是s＝4－2t2，則在時間段[1，1＋Δt]內相應的平均速度為
(　　)．
A．2Δt＋4 B．－2Δt－4
C．4 D．－2Δt2－4Δt
解析　 ＝4－2（1＋Δt）2－（4－2×12）Δt＝－4Δt－2（Δt）2Δt＝－2Δt－4.
答案　B
9．已知圓的面積S與其半徑r之間的函數關系為S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，則當半徑r∈[1，1＋Δr]時，圓面積S的平均變化率為________．
解析　當r∈[1，1＋Δr]時，圓面積S的平均變化率為ΔSΔr＝π（1＋Δr）2－πΔr＝π＋2π•Δr＋（Δr）2π－πΔr＝2π＋πΔr.
答案　2π＋πΔr
10．國家環保局在規定的排污達標的日期前，
對甲、乙兩家企業進行檢查，其連續檢測結果
如圖所示．治污效果更好的企業是(其中W表示排污量)________．
解析　ΔWΔt＝W（t1）－W（t2）Δt，在相同的時間內，由圖可知甲企業的排污量減少的多，∴甲企業的治污效果更好．
答案　甲企業
11．假設在生產8到30臺機器的情況下，生產x臺機器的成本是c(x)＝x3－6x2＋15x(元)，而售出x臺的收入是r(x)＝x3－3x2＋12x(元)，則生產并售出10臺至20臺的過程中平均利潤是多少元？
解　由題意，生產并售出x臺機器所獲得的利潤是：
L(x)＝r(x)－c(x)＝(x3－3x2＋12x)－(x3－6x2＋15x)＝3x2－3x，故所求的平均利潤為：L＝L（20）－L（10）20－10＝87010＝87(元)．
12．(創新拓展)嬰兒從出生到第24個月的體重變化如圖，
試分別計算第一年與第二年嬰兒體重的平均變化率．
解　第一年嬰兒體重平均變化率為11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；
第二年嬰兒體重平均變化率為
14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)．

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