長春市十一高中2013-2014學年度高二上學期期末考試數 學 試 題 （理科）本試卷分第一部分（選擇題）和第二部分（非選擇題），滿分150分，測試時間120分鐘。一、選擇題（每題5分，共60分）1．拋物線的準線方程為 （ ）A. B. C. D. 2．設，若，則 =（ ）A. B.1C. D. 3．閱讀如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（ ）A.20 B.3 C. 2 D.604．若直線過圓的圓心，則的值為（ ）A.1 B.－1 C.3 D.－3 5．將一枚骰子先后擲兩次，向上點數之和為，則≥7的概率為 （ ）A. B. C. D.6．已知曲線的一條切線的斜率為，則切點的橫坐標為（ ）A.3 B.－2 C.1 D.7．下列命題中的假命題是 （ ） A. B.C. D. 8．曲線圍成的封閉圖形的面積為 （ ）A.10 B.8C.2 D.13 9．已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的兩點，,則線段中點到軸的距離為 （ ）A.16 B.6 C.8D. 410．已知為實數，則“且”是“”的 （ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 11.已知雙曲線的中心在原點，是的焦點，過的直線與相交于兩點，且中點為，則的方程為 （ ）A. B. C. D. 12.已知函數，若函數恰有四個不同的零點，則實數的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.二、填空題（每小題5分，共20分）13．雙曲線的離心率為________________.14．函數的極小值點為_____________.15．拋物線焦點在軸上，且被截得的弦長為5，則拋物線的標準方程為________________.16．已知函數，且 現給出如下結論：①；②；③；④，其中正確的序號為________________.三、解答題（本大題共70分）（解答時要寫出必要的文字說明、推理過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）為統計某校學生數學學業水平測試成績，現抽出40名學生成績，得到樣本頻率分布直方圖，如圖所示，規定不低于60分為及格，不低于85分為優秀．（1）估計總體的及格率；（2）求樣本中優秀人數；（3）若從樣本中優秀的學生里抽出2人，求這兩人至少有一人數學成績不低于90分的概率．18．（本小題滿分12分）已知函數（1）求函數的極值；（2）當時，求的最值．19．（本小題滿分12分）已知雙曲線:過點,且離心率為2，過右焦點F作兩漸近線的垂線，垂足分別為M，N.（1）求雙曲線的方程；（2）求四邊形OMFN的面積（O為坐標原點）．20．（本小題滿分12分）設為橢圓的兩個焦點，是橢圓上一點，已知，是一個直角三角形的三個頂點，且.（1）求的長度；（2）求的值.21. （本小題滿分12分）已知拋物線：，直線：，點是直線上任意一點，過點作拋物線的切線，切點分別為，直線斜率分別為，如圖所示 . （1）若，求證：；（2）當在直線上運動時，求證：直線 過定點，并求出該定點坐標.22. （本小題滿分12分）已知函數，（為常數，是自然對數的底數）在處的切線方程為.（1）求的值，并求函數的單調區間；（2）當，時，證明：.長春市十一高中2013-2014學年度高二上學期期末考試數 學（理科） 答案 一、選擇題（每題5分，共60分）1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.A 7.D 8.A 9.D 10.C 11.B 12.C二、填空題（每小題5分，共20分）13． 14. 15．或 16．②③三、解答題17．（本小題10分）解：（1）及格率為------------2分（2）優秀人數6人--------------4分（3）85分—90分有2人，設為、；90分—100分有4人，設為、、、，------------6分那么一次試驗的全部結果為：，， ， ， ， ， ， ，， ，，，，，------------ --------8分共15個結果，所以-----------10分18．（本小題12分）解：（1）------------1分令=0得------------2分x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)單調遞增16單調遞減-16單調遞增------------6分所以極大值為，極小值為 ------------8分（2）由（1）知，，，又所以最大值為，最小值為------------12分19．（本小題12分）解：（1）因為，所以3，------------2分設雙曲線方程為∴雙曲線過點，則有，∴雙曲線方程為-------- --------5分（2）右焦點F到漸近線的距離，-----------9分，∴-----------12分20．（本小題12分）解：（1）若是直角，則,即，得= -----------3分若是直角，則,即，得=8 ---------6分（2）若是直角，則,即，得=，=,∴-----------9分若是直角，則,即，得=8，=4, ∴綜上,或-----------12分21. （本小題12分）解：（1）設過的切線方程為：，代入拋物線，消去得：，由，所以：，該方程的兩個根為直線斜率，所以：.-----------5分（2）設，，切點對求導數，，所以：故：直線：， 直線：由于，所以：：，：由于直線，都過點，有： ，這說明滿足直線的方程，所以直線為：，再由所以為：，， 即過定點.------12分22. （本小題12分）解：（1）由條件知函數過點，所以：------①對求導數：，------②由①、②解得：.故：，令得：，令得：所以函數的單調增區間為，單調減區間為.--------6分（2）由（1）知，當時，；當時，，則 在為減函數，在為增函數，若，，則必有，不妨設.若證，即證，只需證：即：， 設， 即在上恒成立，即設，，∴是上的增函數，故∴是上是減函數，故，所以原命題成立. ---------12分體驗 探究 合作 展示（21題圖）（17題圖）40 50 60 70 80 90 1000.0050.010.0150.025分數0.035(3題圖)否是輸出開始結束體驗 探究 合作 展示吉林省長春市十一中2013-2014學年高二上學期期末考試數學（理）試題Word版含答案
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