牛頓第二定律實驗—改“控制變量法”為“補償法”
江蘇省特級教師 戴儒京
著名的也是最重要的“牛頓第二定律實驗”，以課程標準為指導而編寫的教科書與以前的教科書比較， 把教師演示實驗變為學生探索性實驗。多年以來，都是教師演示實驗，由老師做、老師講，教科書不把實驗的設計展示給學生，而課標教科書則詳細寫出了實驗程序和設計過程。在實驗修訂本中，關于牛頓第二定律的實驗的敘述只用了半頁400多字，而在課標教科書中，用了單獨的一節即第四章第2節：實驗：探究加速度與力、質量的關系，洋洋灑灑3頁半，約2000多字, 是原來的5倍多。
實驗修訂本中，有下列內容（2項）：
?實驗裝置
?實驗方法
課標教科書中，有下列內容（7項）：
?加速度與力的關系
?加速度與質量的關系
?制定實驗方案時的兩個問題
?怎樣測量或比較物體的加速度
?怎樣提供和測量物體所受的恒力
?參考案例
?怎樣由實驗結果得出結論
通過比較可以知道：實驗修訂本中的內容只是課標教科書中“怎樣測量或比較物體的加速度”和“參考案例”兩項內容，也就是說：課標教科書比實驗修訂本增加了實驗設計方法的內容：加速度與力的關系和加速度與質量的關系，即控制變量法。以前是老師補充的，現在寫在教科書中，使學生不僅知道怎樣做實驗，還明白為什么這樣做實驗，即知其然知其所以然。
除文字不同外，插圖也不同。實驗修訂本中，只有一幅圖即圖3-5 研究牛頓第二定律的實驗裝置圖（第50頁），而在課標教科書中除實驗裝置圖（第78頁圖4.2-4及圖4.2-5）外還有圖4.2-2加速度與質量的關系圖（a-m圖）和圖4.2-4加速度與質量的倒數的關系圖（a- 圖）（第76頁），為學生作圖做了示范。
筆者經過仔細、認真的研究，認為“牛頓第二定律實驗”還有改進的空間，且有改進的必要。那就是把“控制變量法”改為“補賞法”。
一、“控制變量法”實驗
1．實驗裝置
圖1為俯視圖，圖2為側視圖。
2．實驗過程
(1)加速度跟力的關系
使用兩個相同的小車，滿足m1=m2；在連小車前的繩端分別掛一個鉤碼和兩個鉤碼（設鉤碼質量為 ），使F1=2F2．將二小車拉至同一起點處，記下位置．放手后經一段時間使二小車同時停止，滿足時間t相同．改變F重復實驗，
讀出二小車的位移，填入表1：
表1
根據 ，在 相等的情況下， 與 成正比。從表1可得：
比較可得，在誤差允許的范圍內，a∝F．
(2)加速度跟質量的關系
將小車1上加0.2kg砝碼，使m1=2m2；二小車前面繩端都掛一個鉤碼，使F1=F2．將二小車拉至同一起點處放開經一段時間使其同時停止，讀出各小車位移記入表2：
表2
3．定律導出
（1）由上述實驗結果 ， ，可得出物體的加速度跟作用力成正比，跟物體的質量成反比，即牛頓第二定律的基本關系，寫成數學表達式為
(2)上式可寫為等式F=kma，式中k為比例常數．如果公式中的物理量選擇合適的單位，就可以使k=1，則公式更為簡單．
在國際單位制中，力的單位是牛頓．牛頓這個單位就是根據牛頓第二定律來定義的：使質量是1kg的物體產生1m/s2的加速度的力為1N，即1N=1kg?m/s2．
可見，如果都用國際單位制中的單位，就可以使k=1，那么公式則簡化為F=ma，這就是牛頓第二定律的公式．
(3)當物體受到幾個力的作用時，牛頓第二定律也是正確的，不過這時F代表的是物體所受外力的合力．牛頓第二定律更一般的表述是：
物體的加速度跟所受的外力的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同．
公式是：
F合=ma．
二、系統誤差分析
1．用數字計算法分析誤差
在實驗中，小車（質量為 ）受的拉力實際上不等于鉤碼的重力（ ），設為 ，則有
，解得
從結果可以看出，小車受的拉力 實際上小于鉤碼的重力（ ），而鉤碼的重力（ ）是產生小車和鉤碼二者的加速度的力，而不是產生小車的加速度的力。
在第（1）步中的第1次實驗中，小車受的拉力 ，但在實驗中認為小車受的拉力等于鉤碼的重力 ，則相對誤差為 。
在第（1）步中的第2次實驗中，小車受的拉力 ，但在實驗中認為小車受的拉力等于鉤碼的重力 ，則相對誤差為 。
可見，在小車的質量相等的條件下，鉤碼的質量越小，相對誤差越小。
但是，實驗中認為第1次實驗小車受的拉力（兩個鉤碼）是第2次實驗小車受的拉力（一個鉤碼）的2倍，但實際是不是2倍，是 倍，相對誤差為 。
在第（2）步中的第1次實驗中，小車受的拉力 ，但在實驗中認為小車受的拉力等于鉤碼的重力 ，則相對誤差為 。
在第（2）步中的第2次實驗中，小車受的拉力 ，但在實驗中認為小車受的拉力等于鉤碼的重力 ，則相對誤差為 。
可見，在鉤碼的質量相等的條件下，小車的質量越大，相對誤差越小。
但是，實驗中認為兩次實驗小車受的拉力相等（都是兩個鉤碼），但實際是不相等的，其中第1次是0.18N，第2次是0.19N，相對誤差為 。
2．用公式法分析誤差
根據公式 ，得相對誤差為 ，也就是說，小車質量 比鉤碼質量 大得越多，相對誤差越小，即實驗條件是：只有當 >> 時，才能認為小車受力等于鉤碼的重力。
但無論如何，高達 的誤差，是不能令人信服的。也就是說，上述實驗是不可取的，只能把鉤碼的質量降到 及以下，因為一般認為，所謂在誤差范圍內，是指誤差在 左右或以下。
這樣做實驗的主要問題還不在誤差上，主要問題在：實驗給同學造成一個錯覺，一個嚴重的錯覺，那就是學生覺得，小車受的拉力等于鉤碼的重力，這個錯覺的來源還在于：初中他們學靜止和勻速運動時，小車受的拉力確實等于鉤碼的重力。這個錯覺很難糾正，以至于在很多題中體現出來。
三、實驗的改進——把“控制變量法”改為“補償法”
所謂“補賞法”，是這樣做實驗：
第1次，仍然是小車的質量為 ，鉤碼的質量為 ，而第二次改為：把掛著的兩個鉤碼其中的1個移到小車上，則小車的質量為 ，鉤碼的質量為 。這樣，小車受的拉力，原來是 ，后來變為 。這樣， （因為 ），比較接近2：1了。
而小車受力與質量的比值分別為：第1次， ，第2次， ，兩次的比值為： ，用數字計算則為： = ， = ，我們可以理直氣壯地說，小車的加速度與受力與質量的比值成正比。這樣還可以畢其功于一役，不要分“加速度與力的關系”和“加速度與質量的關系”兩步做實驗了。最重要的還是，不要讓學生認為：小車受的拉力等于鉤碼的重力。
1．（2010年高考江蘇卷第11題）．（10分）為了探究受到空氣阻力時，物體運動速度隨時間的變化規律，某同學采用了“加速度與物體質量、物體受力關系”的實驗裝置（如圖所示）。實驗時，平衡小車與木板之間的摩擦力后，在小車上安裝一薄板，以增大空氣對小車運動的阻力。
（1）往砝碼盤中加入一小砝碼，在釋放小車 ▲ （選填“之前”或“之后”）接通打點計時器的電源，在紙帶上打出一系列的點。
（2）從紙帶上選取若干計數點進行測量，得出各計數點的時間t與速度v的數據如下表：
請根據實驗數據作出小車的v-t圖像。
（3）通過對實驗結果的分析，該同學認為：隨著運動速度的增加，小車所受的空氣阻力將變大，你是否同意他的觀點？請根據v-t圖象簡要闡述理由。
【答案】（1）之前 （2）（見右圖）
（3）同意 在v-t圖象中，速度越大時，加速度越小，小車受到的合力越小，則小車受空氣阻力越大。
2．（2010年高考山東卷第23題）（1）某同學設計了如圖所示的裝置來探究加速度與力的關系。彈簧秤固定在一合適的木板上，桌面的右邊緣固定一支表面光滑的鉛筆以代替定滑輪，細繩的兩端分別與彈簧秤的掛鉤和礦泉水瓶連接。在桌面上畫出兩條平行線MN、PQ，并測出間距 。開始時將木板置于MN處，現緩慢向瓶中加水，直到木板剛剛開始運動為止，記下彈簧秤的示數F0，以此表示滑動摩擦力的大小。再將木板放回原處并按住，繼續向瓶中加水后，記下彈簧秤的示數F1，然后釋放木板，并用秒表記下木板運動到PQ處的時間 。
①木板的加速度可以用 、 表示為 ＝ �。粸榱藴p小測量加速度的偶然誤差可以采用的方法是（一種即可） 。
②改變瓶中水的質量重復實驗，確定加速度 與彈簧秤示數F1的關系。下列圖象能表示該同學實驗結果的是 。
③用加水的方法改變拉力的大小與掛鉤碼的方法相比，它的優點是 。
a．可以改變滑動摩擦力的大小
b．可以更方便地獲取多組實驗數據
c．可以比較精確地測出摩擦力的大小
d．可以獲得更大的加速度以提高實驗精度
【解析】（1）① ②C 。③BC
3．2007江蘇物理卷第１３題（１３分）
如題１３（a）圖，質量為Ｍ的滑塊Ａ放在氣墊導軌Ｂ上，Ｃ為位移傳感器，它能將滑塊Ａ到傳感器Ｃ的距離數據實時傳送到計算機上，經計算機處理后在屏幕上顯示滑塊Ａ的位移－時間（s-t）圖象和速率－時間（v-t）圖象。整個裝置置于高度可調節的斜面上，斜面的長度為了l、高度為h。（取重力加速度g=9.8m/s2，結果可保留一位有效數字）
（１）現給滑塊Ａ一沿氣墊導軌向上的初速度，Ａ的v-t圖線如題１３(b)圖所示。從圖線可得滑塊Ａ下滑時的加速度a= m/s2 ,摩擦力對滑塊Ａ運動的影響 。（填“明顯，不可忽略”或“不明顯，可忽略”）
（２）此裝置還可用來驗證牛頓第二定律。實驗時通過改變 ，可驗證質量一定時，加速度與力成正比的關系；實驗時通過改變 ，可驗證力一定時，加速度與質量成反比的關系。
（３）將氣墊導軌換成滑板，滑塊Ａ換成滑塊Ａ’，給滑塊Ａ’一沿滑板向上的初速度，Ａ’的s-t圖線如題１３（c）圖。圖線不對稱是由于 造成的，通過圖線可求得滑板的傾角θ＝ �。ㄓ梅慈呛瘮当硎荆�，滑塊與滑板間的動摩擦因數μ＝
【答案】（1）6 不明顯，可忽略
（2）斜面高度ｈ 滑塊Ａ的質量Ｍ及斜面高度ｈ，且使Ｍｈ不變
�。ǎ常┗瑒幽Σ亮Α� （ ～ 都算對
�。埃常ǎ埃病埃炊妓銓Γ�
【解析】（1）下滑時，加速度為 ；上滑時，加速度為 摩擦力對滑塊A運動的影響不明顯，可忽略。
（2）改變斜面高度h, 則改變斜面的傾角，則改變產生加速度的力（ ），可驗證質量一定時，加速度與力成正比的關系；改變滑塊A的質量M及斜面的高度h，且使Mh不變，因為 ，使Mh不變，則F不變，可驗證力一定時，加速度與質量成反比的關系。
（３）圖線不對稱是由于滑動摩擦力造成的，因為在滑塊上滑時，加速度的大小為 ，在滑塊下滑時，加速度的大小為 ，在滑動摩擦力不可忽略的情況下，二者不等， 圖象不對稱。從題13（b）圖中得 ，又 ，所以 = 。（ 都對）。從題13（c）圖中上滑階段讀出， ， ，根據 得 ，代入 = ，已知 ，則 ，解得 。
4．2007海南物理卷第14題．
現要驗證“當質量一定時，物體運動的加速度與它所受的合外力成正比”這一物理規律。給定的器材如下：一傾角可以調節的長斜面（如圖）、小車、計時器一個、米尺。
（１）填入適當的公式或文字，完善以下實驗步驟（不考慮摩擦力的影響）：
① 小車自斜面上方一固定點Ａ1從靜止開始下滑至斜面底端Ａ2，記下所用的時間
② 用米尺測量Ａ1與Ａ2之間的距離s，則小車的加速度 ____________。
③ 用米尺測量Ａ1相對于Ａ2的高h。設小車所受重力為mg，則小車所受的合外力Ｆ＝________。
④ 改變_________________，重復上述測量。
⑤ 以h為橫坐標， 為縱坐標，根據實驗數據作表作圖。如能得到一條過原點的直線，則可以驗證“當質量一定時，物體運動的加速度與它所受的合外力成正比”這一規律。
（２）在探究如何消除上述實驗中摩擦阻力影響的過程中，某同學設計的方案是：
① 調節斜面傾角，使小車在斜面上勻速下滑。測量此時Ａ1點相對于斜面底端Ａ2的高度ho。
② 進行（1）中的各項操作。
③ 計算與作圖時用（h－ho）代替h。
對此方案有以下幾種評論意見：
Ａ. 方案正確可行
Ｂ. 方案的理論依據正確，但利用所給的器材無法確定小車在斜面上是否做勻速運動。
Ｃ. 方案的理論依據有問題，小車所受摩擦力與斜面傾角有關。
其中合理的意見是________。
【答案】（１）�、� �、� �、苄泵鎯A角（或填h的數值）
（２） Ｃ
【解析】要驗證“當質量一定時，物體運動的加速度與它所受的合外力成正比”， ，即 = ，只要以h為橫坐標， 為縱坐標，根據實驗數據作表作圖，如能得到一條過原點的直線，便可。
5 ．實驗裝置如圖1所示；一木塊放在水平長木板上，左側拴有一細軟線，跨過固定在木板邊緣的滑輪與一重物相連，木塊右側與打點計時器的紙帶相連，在重物牽引下，木塊在木板上向左運動，重物落地后，木塊繼續向左做勻減速運動，圖2給出了重物落地后，打點計時器在紙帶上打出的一些點，試根據給出的數據，求木塊與木板間的摩擦因數?。要求寫出主要的運算過程，結果保留2位有效數字。（打點計時器所用交流電頻率為50Hz，不計紙帶與木塊間的拉力。取重力加速度g＝10m/s2）
【答案】由給出的數據可知，重物落地后，木塊在連續相等的時間T內的位移分別是：
以a 表示加速度，根據勻變速直線運動的規律，有
重物落地后木塊只受摩擦力的作用，以 表示木塊的質量，根據牛頓定律，有
6．江蘇省2009高考題“探究加速度與物體質量、物體受力的關系”的實驗裝置如圖甲所示.
（1）在平衡小車與桌面之間摩擦力的過程中，打出了一條紙袋如圖乙所示。計時器大點的時間間隔為0.02s.從比較清晰的點起，每5個點取一個計數點，量出相鄰計數點之間的距離。該小車的加速度a=______m/s2.（結果保留兩位有效數字）
（2）平衡摩擦力后，將5個相同的砝碼都放在小車上.掛上砝碼盤，然后每次從小車上取一個砝碼添加到砝碼盤中，測量小車的加速度。小車的加速度a與砝碼盤中砝碼總重力F的實驗數據如下表：
砝碼盤中砝碼總重力F(N)0.1960.3920.5880.7840.980
加速度a（m?s-2）0.691.181.662.182.70
請根據實驗數據作出a-F的關系圖像.
（3）根據提供的試驗數據作出的 -F圖線不通過原點，請說明主要原因。
【答案】11. (1) 0.16 (0.15也算對) （2）（見右圖）
（3）未計入砝碼盤的重力
7．（上海2009高考題） 如圖為“用DIS（位移傳感器、數據采集器、計算機）研究加速度和力的關系”的實驗裝置。
（1）在該實驗中必須采用控制變量法，應保持___________不變，用鉤碼所受的重力作為___________，用DIS測小車的加速度。
（2）改變所掛鉤碼的數量，多次重復測量。在某次實驗中根據測得的多組數據可畫出a-F關系圖線（如圖所示）。
①分析此圖線的OA段可得出的實驗結論是_________________________________。
②（單選題）此圖線的AB段明顯偏離直線，造成此誤差的主要原因是（）
（A）小車與軌道之間存在摩擦 （B）導軌保持了水平狀態
（C）所掛鉤碼的總質量太大（D）所用小車的質量太大
答案：17．（1）小車的總質量，小車所受外力，（2）①在質量不變的條件下，加速度與外力成正比，②C
8．全國2009高考題
某同學為了探究物體在斜面上的運動時摩擦力與斜面傾角的關系，設計實驗裝置如圖。長直平板一端放在水平桌面上，另一端架在一物塊上。在平板上標出A、B兩點，
B點處放置一光電門，用光電計時器記錄滑塊通過光電門時擋光的時間。
實驗步驟如下：
①用游標卡尺測量滑塊的擋光長度d，用天平測量滑塊的質量m；
②用直尺測量AB之間的距離s，A點到水平桌面的垂直距離h1，B點到水平桌面的垂直距離h2；
③將滑塊從A點靜止釋放，由光電計時器讀出滑塊的擋光
時間t1
④重復步驟③數次，并求擋光時間的平均值 ；
⑤利用所測數據求出摩擦力f和斜面傾角的余弦值 ；
⑥多次改變斜面的傾角，重復實驗步驟②③④⑤，做出f- 關系曲線。
（1）用測量的物理量完成下列各式（重力加速度為g）：
①斜面傾角的余弦 = ；
②滑塊通過光電門時的速度v= ；
③滑塊運動時的加速度a= ；
④滑塊運動時所受到的摩擦阻力f= ；
（2）測量滑塊擋光長度的游標卡尺讀數如圖所示，
讀得d= 。
【答案】（1）① ② ③ ④
（2）3.62cm
【解析】(1)物塊在斜面上做初速度為零的勻加速直線運動,受重力、支持力、滑動摩擦力,如圖所示① 根據三角形關系可得到 ,②根據 ③根據運動學公式 ,有 ,即有
④根據牛頓第二定律 ,則有 .
(2) 在游標卡尺中，主尺上是3.6cm，在游標尺上恰好是第1條刻度線與主尺對齊，再考慮到卡尺是10分度，所以讀數為3.6cm+0.1×1mm=3.61cm或者3.62cm也對.
9.（ 2008年寧夏第22.Ⅱ、題） 測量滑塊與木板之間的動摩擦因數
物理小組在一次探究活動中測量滑塊與木板之間的動摩擦因數．實驗裝置如圖，一表面粗糙的木板固定在水平桌面上，一端裝有定滑輪；木板上有一滑塊，其一端與電磁打點計時器的紙帶相連，另一端通過跨過定滑輪的細線與托盤連接．打點計時器使用的交流電源的頻率為50 Hz．開始實驗時，在托盤中放入適量砝碼，滑塊開始做勻加速運動，在紙帶上打出一系列小點．
⑴上圖給出的是實驗中獲取的一條紙帶的一部分：0、1、2、3、4、5、6、7是計數點，每相鄰兩計數點間還有4個打點（圖中未標出），計數點間的距離如圖所示．根據圖中數據計算的加速度a＝ （保留三位有效數字）．
⑵回答下列兩個問題：
①為測量動摩擦因數，下列物理量中還應測量的有 ．（填入所選物理量前的字母）
A．木板的長度l B．木板的質量m1 C．滑塊的質量m2
D．托盤和砝碼的總質量m3 E．滑塊運動的時間t
②測量①中所選定的物理量時需要的實驗器材是 ．
⑶滑塊與木板間的動摩擦因數μ＝ （用被測物理量的字母表示，重力加速度為g）．與真實值相比，測量的動摩擦因數 （填“偏大”或“偏小” ）．寫出支持你的看法的一個論據：
．
解析: [1] ,其中 , ,
,代入數據得 .
[2] ① 先推出公式(見[3]) 知選CD ②天平
[3] 根據牛頓定律
解得
偏大,因為紙帶與打點計時器也有摩擦力.
答案：22.Ⅱ、⑴0.495～0.497 m/s2； ⑵①CD； ②天平；
⑶ ,
10.（2010高考山東理綜第23題）.（12分）
（1）某同學設計了如圖所示的裝置來探究加速度與力的關系。彈簧秤固定在一合適的木板上，桌面的右邊緣固定一支表面光滑的鉛筆以代替定滑輪，細繩的兩端分別與彈簧秤的掛鉤和礦泉水瓶連接。在桌面上畫出兩條平行線 、 ，并測出間距 開始時將木板置于 處，現緩慢向瓶中加水，直到木板剛剛開始運動為止，記下彈簧秤的示數 ,以此表示滑動摩擦力的大小。再將木板放回原處并按住，繼續向瓶中加水后，記下彈簧秤的示數 ，然后釋放木板，并用秒表記下木板運動到 處的時間 。
①木板的加速度可以用 、 表示為 = ；為了減小測量加速度的偶然誤差可以采用的方法是（一種即可） 。
② 改變瓶中水的質量重復實驗，確定加速度a與彈簧秤示數 的關系。下列圖象能表示該同學實驗結果的是 。
③ 用加水的方法改變拉力的大小與掛鉤碼的方法相比，它的優點是 。
a.可以改變滑動摩擦力的大小
b.可以更方便地獲取多組實驗數據
c.可以比較精確地測出摩擦力的大小
d.可以獲得更大的加速度以提高實驗精度
10． （23．（1））【解析】①
②C 。
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