安徽省阜陽一中2013-2014學年高二上學期期末考試數學試題（理科） 選擇題(共10小題， 50分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。把答案填涂在答題卷上)1、已知是虛數單位，復數=，則=（ ）A．0 B．1 C.2 D. 2、已知命題p：x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≥0，則p是( ) A. x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0 B.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1)≤0C.x1，x2R，(f(x2)f(x1))(x2x1) 0時，函數的圖象大致是（ ）9、若點P為共焦點的橢圓和雙曲線的一個交點, 、分別是它們的左右焦點.設橢圓離心率為，雙曲線離心率為，若,則 （ ）A. B. 3 C.2 D.110、 已知函數對稱，且當時其導函數滿足若則A． B．C． D．(共5小題．25分。把答案填在答題卷的相應橫線上)11、方程在上有解，則實數的取值范圍是 .12、設直線與曲線的圖像分別交于點，則的最小值為 13、在平面上，用一條直線截正方形的一個角，則截下一個直角三角形按下圖所標邊長，由勾股定理得.設想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下正方體的“一個角”三條側棱兩兩垂直的三棱錐O－ABC，若用表示三個側面面積，表示截面面積，你類比得到，之間的關系式為_______________. 14、過雙曲線(>0,b>0)的焦點F(c,)作圓的切線，切點為E，交，則雙曲線的離心率為__ 15、若在曲線f（x，y）=0上兩個不同點處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”。下列方程：① ；② ，③ ；④ 對應的曲線中存在“自公切線”的是 __三、解答題(共6小題．共75分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)16、（12分）已知“一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大”．（1）設圓和正方形的周長為，請你用分別表示出圓和正方形的面積，并用分析法證明該命題；（2）類比球體與正方體，寫出一個正確的命題（不要求證明）。17、（1分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系。（I）半橢圓求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）,求的最大值值（均用表示）18、（1分） （1）令，求證：是其定義域上的增函數；（2）設（，，用數學歸納法證明：19、(13分) 已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.（1）求橢圓的標準方程；（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線的距離最大。（3）試判斷乘積“”的值是否與點的位置有關，并證明你的結論；20、(13分)S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；21．（ 13分）設函數上的最大值為（）．（1）的值；（2）的通項公式； 安徽省阜陽一中2013-2014學年高二上學期期末考試數學試題（理科）參考答案一、D C D B D A C B C C二、（11） ；（12 ）2；（13）（14）；（15） ② ③三、16．（12分）已知“一個圓和一個正方形的周長相等時，圓的面積比正方形的面積大”．（1）設圓和正方形的周長為，請你用分別表示出圓和正方形的面積，并用分析法證明該命題；（2）類比球體與正方體，寫出一個正確的命題（不要求證明）。【答案】（1）依題意，圓的面積為，正方形的面積為．因此本題只需證明．要證明上式，只需證明，兩邊同乘以正數，得．因此，只需證明．恒成立，所以．這就證明了如果一個圓和一個正方形的周長相等，那么圓的面積比正方形的面積大． （2）一個球與一個正方體的表面積相等時，球的體積比正方體的體積大。17、（1分）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．軸，AB中點為原點建立平面直角坐標系。（I）半橢圓求面積以為自變量的函數式，并寫出其定義域；（II）,求的最大值值（均用表示）解：（I）半橢圓方程點的縱坐標， 則從而S=，其定義域為．（II），則．令，得．因為當時，；當時，，所以是的最大值．因此，當時，的最大值．1（1分） （1）令，求證：是其定義域上的增函數；（2）設（，，用數學歸納法證明：解：（1）易知函數的定義域為R， 是其定義域R上的增函數。（2）①時，，由已知條件可得再由（1）知是增函數，=即時，不等式成立。②假設不等式成立，即則時=，即時，不等式成立綜合①②知時，不等式成立。19、(13分) 已知離心率為的橢圓的頂點恰好是雙曲線的左右焦點，點是橢圓上不同于的任意一點，設直線的斜率分別為.（1）求橢圓的標準方程；（2）當，在焦點在軸上的橢圓上求一點Q，使該點到直線的距離最大。（3）試判斷乘積“”的值是否與點的位置有關，并證明你的結論；解：（1）雙曲線的左右焦點為,即的坐標分別為. 所以設橢圓的標準方程為,則, 且,所以,從而, 所以橢圓的標準方程為. 或 (2) 當時，，故直線的方程為即， 。。。。。。。。。。點Q（（3）設則，即 . 所以的值與點的位置無關，恒為.20、(13分)S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點.（Ⅰ）證明：AC⊥SB；（Ⅱ）求二面角N-CM-B的正切值；解法一：（Ⅰ）取AC中點D，連結SD、DB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.過N作NE⊥BD于E，則NE⊥平面ABC，過E作EF⊥CM于F，連結NF，則NF⊥CM.∴∠NFE為二面角N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.∵SN=NB，∴NE=SD===，且ED=EB.在正△ABC中，由平幾知識可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的正切值為2.解法二：（Ⅰ）取AC中點O，連結OS、OB.∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.如圖所示建立空間直角坐標系O-xyz.則A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0）=（-1，0，）.設n=（x，y，z）為平面CMN的一個法向量，則 ?n=3x+y=0， 取z=1，則x=，y=-，∴n=(，-，1)，?n=-x+z=0， 又=(0，0，2)為平面ABC的一個法向量， ∴cos(n，)==.二面角N-CM-B的正切值為2.21、（ 13分）設函數上的最大值為（）．（1）的值；（2）的通項公式； 解：（1）解法1：∵ 當時，當時，，即函數在上單調遞減，∴， 當時，當時，，即函數在上單調遞減，∴ 解法2：當時，，則當時，，即函數在上單調遞減，∴，當時，，則當時，，即函數在上單調遞減，∴（2）令得或，∵當時，且當時，當時，故在處取得最大值，即當時，,------（）當時（）仍然成立，綜上得 AO-111y=x2xy s＝s＋s＋s安徽省阜陽一中2013-2014學年高二上學期期末考試 數學理試題
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