19.3.1正方形的判定
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）
A．選①② B．選②③ C．選①③ D．選②④
2．下列說法中，正確的是（ �。�
A．相等的角一定是對頂角
B．四個角都相等的四邊形一定是正方形
C．平行四邊形的對角線互相平分
D．矩形的對角線一定垂直
3．下列命題中是假命題的是（ ）
A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D．一組鄰邊相等的矩形是正方形
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（ �。�
①當AB=BC時，它是菱形；②當AC⊥BD時，它是菱形；③當∠ABC=90°時，它是矩形；④當AC=BD時，它是正方形．
A．1組 B．2組 C．3組 D．4組
5．四邊形ABCD的對角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．任意四邊形
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明（ �。�
A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分
7．下列命題中，真命題是（ �。�
A．對角線相等的四邊形是矩形
B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是（ ）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 _________�。ㄌ钌弦粋�符合題目要求的條 件即可）．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當△ABC滿足條件 _________ 時，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）
11．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件： _________ ，使得該菱形為正方形．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是 _________ ．
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 _________�。�
14．要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 _________ ．
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點 E，DF⊥BC于點F．求證：四邊形DEBF是正方形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．
18．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
19．如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當CD的值為 _________ 時，四邊形DECF是正方形．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
21．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE _________ 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
22．已知：如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥AC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應該滿足條件： _________ ，就能使矩形AECF變為正方形．（直接添加條件，無需證明）
19.3.1正方形的判定
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是（ ）
A． 選①② B．選②③ C．選①③ D． 選②④
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質．
分析： 要判定是正方形，則需能判定它既是菱形又是矩形．
解答： 解：A、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
B、由②得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形，錯誤，故本選項符合題意；
C、由①得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由③得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意；
D、由②得有一個角是直角的 平行四邊形是矩形，由④得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形，正確，故本選項不符合題意．
故選：B．
點評： 本題考查了正方形的判定方法：
①先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形有一組鄰邊相等；
②先判定四邊形是菱形，再判定這個矩形有一個角為直角．
③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進行判定．
2．下列說法中，正確的是（ �。�
A． 相等的角一定是對頂角
B． 四個角都相等的四邊形一定是正方形
C． 平行四邊形的對角線互相平分
D． 矩形的對角線一定垂直
考點： 正方形的判定；對頂角、鄰補角；平行四邊形的性質；矩形的性質．
分析： 根據對頂角的定義，正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的性質對各選項分析判斷利用排除法求解．
解答： 解：A、相等的角一定是對頂角錯誤，例如，角平分線分成的兩個角相等，但不是對頂角，故本選項錯誤；
B、四個角都相等的四邊形一定是矩形，不一定是正方形，故本選項錯誤；
C、平行四邊形的對角線互相平分正確，故本選項正確；
D、矩形的對角線一定相等，但不一定垂直，故本選項錯誤．
故選：C．
點評： 本題考查了正方形的判定，平行四邊形的性質，矩形的性質，對頂角的定義，熟記各性質與判定方法是解題的關鍵．
3．下列命題中是假命題的是（ �。�
A． 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
B． 一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形
C． 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形
D． 一組鄰邊相等的矩形是正方 形
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
專題： 證明題．
分析： 做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答．
解答： 解：A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，（平行四邊形判定定理）；正確．
B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形，不一定是矩形，還可能是不規則四邊形，錯誤．
C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，正確；
D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，正確．
故選B．
點評： 本題主要考查各種四邊形的判定，基礎題要細心．
4．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結論中不正確的有（ ）
①當AB=BC時，它是菱形；②當AC⊥BD時，它是菱形；③當∠ABC=90°時，它是矩形；④當AC=BD時，它是正方形．
A． 1組 B．2組 C．3組 D． 4組
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質；菱形的判定；矩形的判定．
分析： 根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可判斷①正確；根據所給條件可以證出鄰邊相等，可判斷②正確；根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可判斷③正確；根據
對角線相等的平行四邊形是矩形可以判斷出④錯誤．
解答： 解：①根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形可知：四邊形ABCD是平行四邊形，當AB=BC時，它是菱形正確；
②∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四邊形ABCD是菱形，故②正確；
③根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形可知③正確；
④根據對角線相等的平行四邊形是矩形可知當AC=BD時，它是矩形，不是正方形，故④錯誤；
故不正確的有1個．
故選：A．
點評： 此題主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，關鍵是熟練掌握三種特殊平行四邊形的判定定理．
5．四邊形ABCD的對角線AC=BD，AC⊥BD，分別過A、B、C、D作對角線的平行線，所成的四邊形EFMN是（ �。�
A． 正方形 B．菱形 C．矩形 D． 任意四邊形
考點： 正方形的判定．
分析： 根據平行線的性質和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，進而判斷即可．
解答： 證明：如圖所示：
∵分別過A、B、C、D作對角線的平行線，
∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，
∵對角線AC=BD，AC⊥BD，
∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，
∴四邊形EFMN是正方形．
故選：A．
點評： 此題主要考查了正方形的判定以及平行線的性質和判定等知識，熟練掌握正方形的判定定理是解題關鍵．
6．如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎上，進一步證明（ ）
A． AB=AD且AC⊥BD B． AB=AD且AC=BD C． ∠A=∠B且AC=BD D． AC和BD互相垂直平分
考點： 正方形的判定．
分析： 根據正方形的判定對各個選項進行分析從而得到最后的答案．
解答： 解：A、根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；
B、根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；
C、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；
D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形．
故選B．
點評： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．
7．下列命題中，真命題是（ �。�
A． 對角線相等的四邊形是矩形
B． 對角線互相垂直的四邊形是菱形
C． 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
D． 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命題與定理．
分析： A、根據矩形的定義作出判斷；
B、根據菱形的性質作出判斷；
C、根據平行四邊形的判定定理作出判斷；
D、根據正方形的判定定理作出判斷．
解答： 解：A、兩條對角線相等且相互平分的四邊形為矩形；故本選項錯誤；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項錯誤；
C、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項正確；
D、對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項錯誤；
故選C．
點評： 本題綜合考查了正方形、矩形、菱形及平行四邊形的判定．解答此題時，必須理清矩形、正方形、菱形與平行四邊形間的關系．
8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四 邊形BECF為正方形的是（ �。�
A． BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D． AC=BF
考點： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質．
分析： 根據中垂線的性質：中垂線上的點到線段兩個端點的距離相等，有BE=EC，BF=FC進而得 出四邊形BECF是菱形；由菱形的性質知，以及菱形與正方形的關系，進而分別分析得出即可．
解答： 解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四邊形BECF是菱形；
當BC=AC時，
∵∠ACB=90°，
則∠A=45°時，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故選項A正確，但不符合題意；
當CF⊥BF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B正確，但不符合題意；
當BD=DF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C正確，但不符合題意；
當AC=BF時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D錯誤，符合題意．
故選：D．
點評： 本題考查了菱形的判定和性質及中垂線的性質、直角三角形的性質、正方形的判定等知識，熟練掌握正方形的相關的定理是解題關鍵．
二．填空題（共6小題）
9．能使平行四邊形ABCD為正方形的條件是 AC=BD且AC⊥BD�。ㄌ钌弦粋�符合題目要求的條件即可）．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質．
專題： 開放型．
分析： 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形是矩形，矩形和菱形的結合體是正方形．
解答： 解：可添加對角線相等且對角線垂直或對角線相等，且一組鄰邊相等；或對角線垂直，有一個內角是90°．答案不唯一，此處填：AC=BD且AC⊥BD．
點評： 本題考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的結合．
10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，當△ABC滿足條件 AC=BC 時，四邊形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何輔助線，②只需填一個符合要求的條件）
考點： 正方形的判定．
專題： 計算題；開放型．
分析： 由已知可得四邊形的四個角都為直角，因此再有四邊相等即是正方形添加條件．此題可從四邊形DECF是正方形推出．
解答： 解：設AC=BC，即△ABC為等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF= AC=CE，
DE= BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四邊形DECF是正方形，
故答案為：AC=BC．
點評： 此題考查的知識點是正方形的判定，解題的關鍵是可從四邊形DECF是正方形推出△ABC滿足的條件．
11．如圖，菱形ABCD的對角線相交于點O，請你添加一個條件： AC=BD或AB⊥BC ，使得該菱形為正方形．
考點： 正方形的判定；菱形的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據正方形判定定理進行分析．
解答： 解：根據對角線相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根據有一個角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的條件為：AC=BD或AB⊥BC．
點評： 本題答案不唯一，根據菱形與正方形的關系求解．
12．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA，對角線AC與BD相交于點O，若不增加任何字母與輔助線，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是 AC=BD或AB⊥BC�。�
考點： 正方形的判定；菱形的判定．
專題： 開放型．
分析： 根據菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答： 解：∵在四邊形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四邊形ABCD是菱形
∴要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個條件是：AC=BD或AB⊥BC．
點評： 解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理，即有一個角是直角的菱形是正方形．
13．已知四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一個條件即可判定該四邊形是正方形，那么這個條件可以是 AB=AD或AC⊥BD等�。�
考點： 正方形的判定；矩形的判定與性質．
專題： 開放型．
分析： 由已知可得四邊形ABCD是矩形，則可根據有一組鄰邊相等或對角線互相垂直的矩形是正方形添加條件．
解答： 解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四邊形ABCD是矩形，根據根據有一組鄰邊相等或對角線互相垂直的矩形是正方形，得到應該添加的條件為：AB=AD或AC⊥BD等．
故答案為：AB=AD或AC⊥BD等．
點評： 本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據正方形的概念，途經有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．
14．要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為 有一個角是直角或對角線相等�。�
考點： 正方形的判定；菱形的性質．
專題： 開放型．
分析： 根據菱形的性質及正方形的判定進行分析，從而得到最后答案．
解答： 解：要使一個菱形成為正方形，需添加一個條件為：有一個角是直角或對角線相等．
點評： 解答此題的關鍵是熟練掌握正方形的判定定理：
（1）有一個角是直角的菱形是正方形；
（2）對角線相等的菱形是正方形．
三．解答題（共8小題）
15．已知：如圖，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F．求證：四邊形DEBF是正方形．
考點： 正方形的判定．
專題： 證明題．
分析： 由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先證明四邊形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F得出DE=DF判定四邊形DEBF是正方形．
解答： 解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四邊形BEDF為矩形，
∵BD是∠ABC的平分線，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF為正方形．
點評： 本題考查正方形的判定、角平分線 的性質和矩形的判定．要注意判定一個四邊形是正方形，必須先證明這個四邊形為矩形或菱形．
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分∠ABC，P是BD上一點，過點P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求證：四邊形MPND是正方形．
考點： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： （1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性質即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．
解答： 證明：（1）∵對角線BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四邊形MPND是正方形．
點評： 本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的性質、矩形的判定和性質以及正方形的判定，解題的關鍵是熟記各種幾何圖形的性質和判定．
17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD、BE．
（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定與性質；菱形的判定．
專題： 幾何綜合題．
分析： （1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；
（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD=BD，根據菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根據正方形的判定推出即可．
解答： （1）證明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四邊形ADEC是平行四邊形，
∴CE=AD；
（2）解：四邊形BECD是菱形，
理由是：∵D為AB中點，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四邊形BECD是平行四邊形，
∵∠ACB=90°，D為AB中點，
∴CD=BD，
∴四邊形BECD是菱形；
（3）當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D為BA中點，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四邊形BECD是菱形，
∴四邊形BECD是正方形，
即當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．
點評： 本題考查了正方形的判定、平行四邊形的性質和判定，菱形的判定，直角三角形的性質的應用，主要考查學生運用定理進行推理的能力．
18．如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC的中點，將△ADE繞點E旋轉180°得到△CFE．
（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是正方形？請說明理由．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定．
分析： （1）利用旋轉的性質得出點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，故四邊形ADCF是矩形．進而求出CD=AD即可得出答案．
解答： （1）證明：∵△CFE是由△ADE繞點E旋轉180°得到，
∴點A、E、C三點共線，點D、E、F三點共線，
且AE=CE，DE=FE，
故四邊形ADCF是平行四邊形．
（2）解：當∠ACB=90°，AC=BC時，四邊形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四邊形ADCF是平行四邊形，
∴四邊形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴ ，
故四邊形ADCF是正方形．
點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，得出四邊形ADCF是矩形是解題關鍵．
19．如圖，分別以線段AB的兩個端點為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧 交于M、N兩點，連接MN，交AB于點D 、C是直線MN上任意一點，連接CA、CB，過點D作DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F．
（1）求證：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當CD的值為 1 時，四邊形DECF是正方形．
考點： 正方形的判定；全等三角形的判定．
分析： （1）先由作圖知MN是線段AB的垂直平分線，根據垂直平分線的性質得出CA=CB，AD=BD，由等邊對等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可證明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD與△BCD都是等腰直角三角形，則∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根據有三個角是直角的四邊形是矩形證明四邊形DECF是矩形，再由等角對等邊得出ED=CE，從而得出矩形DECF是正方形．
解答： （1）證明：由作圖知，MN是線段AB的垂直平分線，
∵C是直線MN上任意一點，MN交AB于點D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED與△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS）；
（2）解：若AB=2，當CD的值為1時，四邊形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD= AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴ △ACD與△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四邊形DECF是矩形，∠CDE=90°?45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案為1．
點評： 本題考查了線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定與性質，難度適中．
20．如圖，AB是CD的垂直平分線，交CD于點M，過點M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分別為E、F．
（1）求證：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求證：四邊形AEMF是正方形．
考點： 正方形的判定；線段垂直平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．
專題： 證明題．
分析： （1）根據AB是CD的垂直平分線，得到AC=AD，然后利用三線合一的性質得到∠CAB= ∠DAB即可；
（2）首先判定四邊形AEMF是矩形，然后證得ME=MF，利用鄰邊相等的矩形AEMF是正方形進行判定即可．
解答： （1）證明：∵AB是CD的垂直平分線，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三線合一）；
（2）證明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四邊形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
點評： 本題考查正方形的判定，線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質的知識，綜合性較強，難度不大．
21．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC，設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）探究：線段OE與OF的數量關系并加以證明；
（2）當點O運動到何處時，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
（3）當點O在邊AC上運動時，四邊形BCFE 不可能 是菱形嗎？（填“可能”或“不可能”）
考點： 正方形的判定；菱形的判定．
分析： （1）由直線MN∥BC，MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，易證得△OEC與△OFC是等腰三角形，則可證得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定問題，AECF若是正方形，則必有對角線OA=OC，所以O為AC的中點，同樣在△ABC中，當∠ACB=90°時，可滿足其為正方形；
（3）菱形的判定問題，若使菱形，則必有四條邊相等，對角線互相垂直．
解答： 解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分線，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分線，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）當點O運動到AC的中點，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．理由如下：
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如圖，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF= ∠ACB+ ∠ACD= （∠ACB+∠ACD）=90°，
若四邊形BCFE是菱形，則BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在兩個角為90°，所以不存在其為菱形．
故答案為不可能．
點評： 本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．
22．已知：如圖，△ABC中，點O是AC上的一動點，過點O作直線MN∥AC，設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG的平分線于點F，連接AE、AF．
（1）求證：∠ECF=90°；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩 形？請說明理由；
（3）在（2）的條件下，△ABC應該滿足條件： ∠ACB為直角的直角三角形 ，就能使矩形AECF變為正方形．（直接添加條件，無需證明）
考點： 正方形的判定；等腰三角形的判定與性質；矩形的判定．
分析： （1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．
解答： （1）證明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠ECF= ×180°=90°；
（2）解：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
又∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（3）解：當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
故答案為：∠ACB為直角的直角三角形．
點評： 此題考查的是正方形和矩形的判定，角平分線的定義，平行線的性質，等腰三角形的判定等知識．解題的關鍵是由已知得出EO=FO，確定（2）（3）的條件．
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