【—三線合一證明】知識要領：等腰三角形底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線相互重合。

　　三線合一的證明

　　已知：△ABC為等腰三角形，AD為中線。求證：AD垂直平分BC，BD=DC

　　∵△ABC為等腰三角形 (已知)

　　∴AB=AC(等腰三角形的性質)

　　∴∠B=∠C(等邊對等角)

　　在△ABD和△ADC中：

　　∵AD為中線(已知)

　　∴BD=DC(等腰三角形中線為垂直平分線)

　　∵AD為公共邊

　　∴△ADB≌△ADC(S.A.S)

　　可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形對應角相等)

　　∵∠ADB+∠ADC=∠BDC(已證)，且∠BDC=180度(平角定義)

　　∴∠ADB=∠ADC=90°(等量代換)

　　得證

　　逆定理

　�、� 如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

　�、� 如果三角形中任一邊的中線和這條邊上的高重合，那么這個三角形是等腰三角形。

　　——為什么“如果三角形中任一角的角平分線和它所對邊的中線重合，那么這個三角形是等腰三角形”不成立?

　　因為：角平分線和中線重合，只能說明左右兩個三角形的：1)角平分線兩旁的角相等;2)中線旁的兩條邊相等;3)另一條邊相等。而全等三角形的判定定理中沒有ASS這一條，故不成立。

　　知識歸納：其中一邊上的中線與此邊對角角平分線重合推證等腰三角形，可應用正弦定理，或過此邊中點作另外兩邊垂線。

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