【—自然數的總結】自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，也是我們從小學就開始掌握的一門數學知識。

　　自然數

　　自然數是能夠表示同一屬性事物的程度及其有序規律的一種符號，并具備表示事物屬性、量的程度、有序規律這三種功能。

　　自然數集是全體非負整數(在過去的教科書中，零一般被認為不是自然數)組成的集合，常用 N 來表示。自然數有無窮多個。

　　嚴格定義

　　自然數不僅是表示量的程度的符號，同時也是表示這個量的有序規律的一種符號。就是說：自然數是能夠表示同一屬性事物的程度及其有序規律的一種符號，并具備表示事物屬性、量的程度、有序規律這三種功能。摘自自然數原本數數論。

　　為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論:自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

　　序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義。

　　自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作0。②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者。③ 0不是任何元素的后繼者。④ 不同元素有不同的后繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果0∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

　　基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關系的有限集具有共同的數量特征，這一特征叫做基數 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，等具有同一基數(用集合的形式表示) ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，并且兩種理論下的運算是一致的。

　　總結而言，自然數知識不僅是表示量的程度的符號，同時也是表示這個量的有序規律的一種符號。

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