第一章　勾股定理
３． 螞蟻怎么走最近

一、學生起點分析
本節將利用勾股定理及其逆定理解決一些具體的實際問題，其中需要學生了解空間圖形、對一些空間圖形進行展開、折疊等活動.學生在學習七年級上第一章時對生活中的立體圖形已經有了 一定的認識，并從事過相應的實踐活動，因而學生已經具備解決本課問題所需的知識基礎和活動經驗基礎.

二、任務分析
● 教材內容：
本節是義務教育課程標準北師大版實驗教科書八年級（上）第一章《勾股定理》第３節．
● 教材地位及作用
具體內容是運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題。當然，在這些具體問題的解決過程中，需要經歷幾何圖形的抽象過程，需要借助觀察、操作等實踐活動，這些都有助于發展學生的分析問題、解決問題能力和應用意識；一些探究活動具體一定的難度，需要學生相互間的合作交流，有助于發展學生合作交流的能力．

三、目標分析
1．教學目標
● 知識與技能目標
(1)學會觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念．
● 過程與方法目標
(1)經歷一般規律的探索過程，發展學生的抽象思維能力．
(2)在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，提高分析問題、解決問題的能力及滲透數學建模的思想．
● 情感與態度目標
(1)通過有趣的問題提高學習數學的興趣．
(2)在解決實際問題的過程中，體驗數學學習的實用性．
2．教學重點
探索、發現事物中隱含的勾股定理及其逆及理，并用它們解決生活實際問題．
3．教學難點
利用數學中的建模思想構造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解決實際問題．

四、教法學法
1．教學方法：
引導—探究—歸納
本節課的教學對象是初二學生,他們的參與意識教強,思維活躍,為了實現本節課的教學目標,我力求以下三個方面對學生進行引導：
（1）從創設問題情景入手,通過知識再現,孕育教學過程；
（2）從學生活動出發,順勢教學過程；
（3）利用探索研究手段,通過思維深入,領悟教學過程．
2．課前準備
教具：教材、電腦、多媒體課件．
學具：用矩形紙片做成的圓柱、剪刀、教材、筆記本、課堂練習本、文具．

五、教學過程設計
本節課設計了七個環節．第一環節：情境引入；第二環節：合作探究；第三環節：做一做；第四環節：小試牛刀；第五環節：舉一反三；第六環節：交流小結；第七環節：布置作業．

第一環節：情境引入
內容：
情景１：多媒體展示：
提出問題：從二教樓到綜合樓怎樣走最近？
情景２：
如圖：在一個圓柱石 凳上，若小明在吃東西時留下了一點食物在B處，恰好一只在A處的螞蟻捕捉到這一信息，于是它想從A處爬向B處，你們想一想，螞蟻怎么走最近？
意圖：
通過情景１復習公理：兩點之間線段最短；情景２的創設引入新課，激發學生探究熱情．
效果：
從學生熟悉的生活場景引入，提出問題，學生探究熱情高漲，為下一環節奠定了良好基礎．

第二環節：合作探究
內容：
學生分為４人活動小組，合作探究螞蟻爬行的最短路線，充分討論后，匯總各小組的方案，在全班范圍內討論每種方案的路線計算方法，通過具體計算，總結出最短路線。讓學生發現：沿圓柱體母線剪開后展開得到矩形，研究“螞蟻怎么走最近”就是研究兩點連線最短問題，引導學生體會利用數學解決實際問題的方法：建立數學模型，構圖，計算．
意 圖：
通過學生的合作探 究，找到解決“螞蟻怎么走最近”的方法，將曲面最短距離問題轉化為平面最短距離問題并利用勾股定理求解．在活動中體驗數學建摸，培養學生與人合作交流的能力，增強學生探究能力，操作能力，分析能力，發展空間觀念．
效果：
學生匯總了四種方案：

（１）　 　�。ǎ玻　　　　。ǎ常　　� �。ǎ矗�
學生很容易算出：情形（１）中A→B的路線長為：AA’+d，
情形（２）中A→B的路線長為：AA’+πd／2
所以情形（１）的路線比情形（２）要短．
學生在情形（３）和（４）的比較中出現困難，但還是有學生提出用剪刀沿母線AA’剪開圓柱得到矩形，前三種情形A →B是折線，而情形（４）是線段，故根據兩點之間線段最短可判斷（４）最短．
如圖：
（１）中A→B的路線長為：AA’+d;
（２）中A→B的路線長為：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路線長為：AO+OB>AB;
（４）中A→B的路線長為：AB.
得出結論：利用展開圖中兩點之間，線段最短解決問題．
在這個環節中，可讓學生沿母線剪開圓柱體，具體觀察．
接下來后提問：怎樣計算AB？
在Rt△AA′B中，利用勾股定理可得 ，若已知圓柱體高為12cm，底面半徑為3cm，π取3，則 .

第三環節：做一做
內容：
李叔叔想要檢測雕塑底座正面的AD邊和BC邊是否分別垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺，
（1）你能替他想辦法完成任務嗎？
（2）李叔叔量得AD長是30厘米，AB長是40厘米，BD長是50厘米，AD邊垂直于AB 邊嗎？為什么？
（3）小明隨身只有一個長度為20厘米的刻度尺，他能有辦法檢驗AD邊是否垂直于AB邊嗎？BC邊與AB邊呢？
解答：（2）

∴AD和AB垂直
意圖：
運用勾股定理逆定理來解決實際問題，讓學生學會分析問題，利用允許的工具靈活處理問題．
效果：
先鼓勵學生自己尋找辦法，再讓學生說明李叔叔的辦法的合理性．當刻度尺較短時，學生可能會在上面解決問題的基礎上，想出多種辦法，如利用分段相加的方法量出AB，AD和BD的長度，或在AB，AD邊上各量一段較小長度，再去量以它們為邊的三角形的第三邊，從而得到結論．

第四環節：小試牛刀
內容：
1．甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，某日早晨8：00甲先出發，他以6km/h的速度向正東行走，1小時后乙出發，他以5km/h的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙兩人相距多遠？
解答：如圖:已知A是甲、乙的 出發點，10:00甲到達B 點,
乙到達C點.則:
AB=2×6=12(千米)
AC=1×5=5(千米)
在Rt△ABC中


∴BC=13(千米)
即甲乙兩人相距13千米
2．如圖，臺階A處的螞蟻要爬到B處搬運食物，它怎么走
最近？并求出最近距離．
解答：
3．有一個高為1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近
邊的地方有一小孔，從孔中插入一鐵棒 ，已知鐵棒在油桶外的部分為
0.5米，問這根鐵棒有多長？
解答：設伸入油桶中的長度為x米,
則最長時:

∴最長是2.5+0.5=3(米)
最短時:
∴最短是1.5+0.5=2(米)
答:這根鐵棒的長應在2-3米之間
意圖：
對本節知識進行鞏固練習，訓練學生根據實際情形畫出示意圖并計算．
效果：
學生能獨立地畫出示意圖，將現實情形轉化為數學模型，并求解．

第五環節：舉一反三
內容：
1．如圖，在棱長為10厘米的正方體的一個頂點A處有一只螞蟻，現要向頂點B處爬行，已知螞蟻爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不變，問螞蟻能否在20秒內從A爬到B？
解答：

2．在我國古代數學著作《九章算術》中記載了一道有趣的問題，這個問題的意思是：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達岸邊的水面，請問這個水池的深度和這根蘆葦的長度各是多少？
解答：設水池的水深AC為x尺，則這根蘆葦長為
AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+ x2= (x+1)2
25+ x2= x2+2 x+1，
2 x=24，
∴ x=12， x+1=13
答：水池的水深12尺，這根蘆葦長13尺。
意圖：
第1題旨在對“螞蟻怎樣走最近”進行拓展，從圓柱側面到棱柱側面，都是將空間問題平面化；第2題，學生可以進一步了解勾股定理的悠久歷史和廣泛應用，了解我國古代人民的聰明才智；運用方程的思想并利用勾股定理建立方程
效果：
學生能畫出棱柱的側面展開圖，確定出AB位置，并正確計算．如有可能，還可把正方體換成長方體進行討論．
學生能畫出示意圖，找等量關系，設適當的未知數建立方程．
注意事項：對于普通班級而言，學生完成“小試牛刀”，已經基本完成課堂教學任務。因此本環節可以作為教學中的 一個備選環節，共老師們根據學生狀況選用。

第六環節：交流小結
內容：
師生相互交流總結：
1．解決實際問題的方法是建立數學模型求解．
2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，利用勾股定理及其逆定理解決實際問題．
意圖：
鼓勵學生結合本節課的學習談自己的收獲和感想，體會到勾股定理及其逆定理的廣泛應用及它們的悠久歷史．
效 果：
學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，總結出在尋求曲面最短路徑時，往往考慮其展開圖，利用兩點之間，線段最短進行求解．并贊嘆我國古代數學的成就．

第七環節：布置作業
1．課本習題1．5第1，2，3題．
2．如圖是學校的旗桿,旗桿上的繩子垂到了地面,并多出了一段,現在老師想知道旗桿的高度,你能幫老師想個辦法嗎?請你與同伴交流設計方案?（本題作為對部分學生的思考題）

六、教學設計反思
本節從生動有趣的問題情景出發，通過學生自主探究，運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，既鞏固了基本知識點，又在將實際問題抽象成幾何圖形過程中，學會觀察，提高分析能力，滲透數學建摸思想．在設計中,我注重以下兩點：
1．要充分利用好教材提供的素材
“螞蟻怎么走最近”是一個生動有趣的問題，讓學生充滿了探究的欲望，這個問題體現了二、三維圖形的轉化，對發展學生的空間觀念很有好處．
2．合理使 用教材提供的練習
本節課通過“小試牛刀”和“舉一反三”把教材中的練習重組，使練習有梯度，既鞏固了基本知識點，又訓練了學生的應用能力．第一個作業讓學生深入理解和應用勾股定理及逆定理．
3．突破重點、突破難點的策略
在教學過程中教師應通過情景創設，激發興趣，鼓勵引導學生經歷探索過程,得出結論,從而發展學生的數學應用能力，提高學生解決實際問題的能力．
4．分層教學
根據本班學生實際情況可在教學過程中選 擇：基礎訓練——“小試牛刀”；提高訓練——“舉一反三”；拓展訓練——作業第2題．
5．評價方式
根據新課標的評價理念，在教學過程中應關注學生的參與程度，關注活動中所反映出的思維水平，關注對實際問題的理解水平，關注學生對基本知識的掌握情況和應用勾股定理及逆定理解決實際問題的意識和能力．在教學過程中尊重學生的個體差異，對于學生的回答教師應給予恰當的評價與鼓勵，并幫助學生樹立學習數學的自信，充分發揮教育的價值．
附：板書設計
螞蟻怎樣走最近
情境引入———— 小試牛刀：　　　　　舉一反三—————
合作探究————　 １．——————　　　　　１． ——————
２．——————　　　　�。玻�

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