第三講 因式分解的應用
在一 定的條件下，把一個代數式變換成另一個與它恒等的代數式稱為代數式的恒等變形，是研究代數式、方程和函數的基礎．
因式分解是代數變形的重要工具．在后續的學習中，因式分解是學習分式、一元二次方程等知識的基礎，現階段．因式分解在數值計算，代數式的化簡求值，不定方程(組)、代數等式的證明等方面有廣泛的應用．同時，通過因式分解的訓練和應用，能使我們的觀察能力、運算能力、變形能力、邏輯思維能力、探究能力得以提高．
因此，有人說因式分解是學好代數的基礎之一．
例題求解
【例1】若 ，則 的值為 ．
(全國初中數學聯賽題)
思路點撥 恰當處理兩個等式，分解關于 的二次三項式．
注：
在信息技術飛速發展的今天，信息已經成為人類生活中最重要的因素．在軍事、政治、商業、生活等領域中，信息的保密工作顯得格外重要．現代保密技術的一個基本思想，在編制密碼的工作中，許多密碼方法，就來自于因數分解、因式分解技術的應用．
代數式求值的常用方法是：
(1)代入字母的值求值； (2)通過變形，尋找字母間的關系，代入關系求值；
(3)整體代入求值．
【例2】已知 a、b、c是一個三角形的三邊，則 的值( )
A．恒正 B．恒負C．可正可負D．非負
(大原市競賽題)
思路點撥 從變形給定的代數 式入手，解題的關鍵是由式于的特點聯 想到熟悉的結果，注意幾何定理的約束．
【例3】計算下列各題：
（1） ；
（2）
思路點撥 觀察分子、分母數字間的特點，用字母表示數，從一般情形考慮，通過分解變形，尋找復雜數值下隱含的規律．
【例4】已知 n是正整數，且n4—16n2+100是質數，求n的值．
( “希望杯’邀請賽試題)
思路點拔 從因數分解的角度看，質數只能分解成l和本身的乘積(也可從整除的角度看)，故對原式進行恰當的分解變形，是解本例的最自然的思路．
【例5】(1)求方程 的整數解；
(上海市競賽題)
(2)設x、y為正整數，且 ，求 的值．
( “希望杯”邀請賽試題)
思路點拔 觀察方程的特點，利用整數解這個特 殊條件，運用因式分解或配方，尋找解題突破口．
鏈接
解題思路的獲得，一般要經歷三個步驟：
(1)從理解題意中提取有用的信息，如數式特點、圖形結構特征等；
(2)從記憶儲存中提取相關的信息，如有關公式、定理、基本模式等；
(3)將上述兩組信息進行進行有效重組，使之成為一個舍乎邏輯的和諧結構．
不定方程(組)的基本解法有：
(1)枚舉法； (2)配方法；(3)因數分解、因式分解法； (4)分離系數法．
運用這些方法解不定方程時，都需靈活運用奇數偶數、質數合數、整除等與整數相關的知識．
學力訓練
1．已知x+y＝3， ，那么 的值為 ．
2．方程 的整數解是 ． ( “希望杯”邀請賽試題)
3．已知a、b、c、d為非負整數，且ac+bd+ad+bc=1997，則a+b+c+d＝ ．
4．對一切大于2的正整數n，數n5一5n3+4n的量大公約數是 ．
(四川省競賽題)
5．已知724－1可被40至50之間的兩個整數整除，這兩個整數是( )
A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．4l，47
6，已知2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，則 的值是( )
A． 2， B．2 C． D．－2，
7 ．a、b、c是正整數，a>b，且a2-ac+bc=7，則 a—c等于( )
A．一2 B．一1 C．0 D． 2
(江蘇省競賽題)
8．如果 ，那么 的值等于( )
A．1999 B．2001 C．2003 D．2005
（武漢市選拔賽試題）
9．(1)求證：8l7一279—913能被45整除；
(2)證明：當n為自然數時，2(2n+1)形式的數不能表示為兩個整數的平方差；
（3）計算：
10．若a是自然數，則a4－3a+9是質數還是合數?給出你的證明．
(“五城市”聯賽題)
11．已知a、b、c滿足a+b＝5，c2＝ab+b－9，則c＝ ． (江蘇省競賽題)
12．已知正數a、b、c滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+a+c，則(a+1)(b+1)(c+1)= ．(北京市競賽題)
13．整數a、b滿足6ab＝9a—l0b+303，則a+b= ．(“祖沖之杯”邀請賽試題)
14．已知 ，且 ，則 的值等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
15．設a
A．0 B．－1 C．1 D． 3
( “希望杯”邀請賽試題)
17．已知兩個不同的質數p、q滿足下列關系 ： ， ，m是適當的整數，那么 的數值是( )
A．4004006 B．3996005 C． 3996003 D．4004004
18．設n為某一自然數，代入代數式n3－n計算其值時，四個學生算出了下列四個結果．其中正確的結果是( )
A．5814 B．5841 C．8415 D．845l (陜西省競賽題)
19．求證：存在無窮多個自然數k，使得n4+k不是質 數．
20．某校在向“希望工程”捐救活動中，甲班的m個男生和11個女生的捐款總數與乙班的9個男生和n個女生的捐款總數相等，都是(mn+9m+11n+145)元，已知每人的捐款數相同，且都是整數，求每人的捐款數． (全國初中教學聯賽題)
21．已知b、c是整數，二次三項 式x2+bx＋c既是x4+6x2+25的一個因式，也是x3+4x2+28x+5的一個因式，求x＝1時，x2 +bx＋c的值．
(美國中學生數學競賽題)
22．按下面規則擴充新數：
已有兩數a、b，可按規則c=ab+a+b擴充一個新數，在a、b、c三個數中任取兩數，按規則又可擴充一個新數，……每擴充一個新數叫做一次操作．
現有數1和4，(1)求按上述規則操作三次得到擴充的最大新數；(2 )能否通過上述規則擴充得到新數1999，并說明理由． (重慶市競賽題)
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