一．目標
1．經歷刻畫數據離散程度的探索過程，感受表示數據離散程度的必要性.
2．掌握方差和標準差的概念，卉計算方差和標準差，理解它們的統計意義.
3．經歷探索極差、方差的應用過程，體會數據波動中的極差、方差的求法時以及區別，積累統計經驗.
二．要點梳理
1．我們知道極差只能反映一組數據中兩個 之間的大小情況，而對其他數據的波動情況不敏感.
2．描述一組數據的離散程度可以采取許多方法，在統計中常采用先求這組數據的 ，再求這組數據與 的差的 的平均數，用這個平均數衡量這組數據的波動性大小
3．設在一組數據X1，X2，X3，X4，……XN中，各數據與它們的平均數 的差的平方分別是（X1- ）2，（X2- ）2，（X3- ）2，……，（Xn- ）2,,那么我們求它們的平均數，即用S2= .
4．一組數據方差的算術平方根叫做這組數據的 。
5．方差是描述一組數據 的特征數，可通過比較其大小判斷波動的大小，方差 說明數據越穩定，
6．為什么要這樣定義方差？

7．為什么要除以數據的個數n?

8．標準差與方差的區別和聯系？

三．問題探究
知識點1. 探究計算數據方差和標準差的必要性
例1.質檢部門從A、B兩廠生產的乒乓球中各抽取了10只，對這些乒乓球的直徑進行了檢測，結果如下（單位：mm）
A廠： 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.0 ， 39.9 ， 40.0 ， 40.1
B廠： 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.9 ，40.1 ， 39.8 ， 40.2 ， 39.8 ， 40.2
思考探索：1、請你算一算它們的平均數和極差？
2、根據它們的平均數和極差，你能斷定這兩個廠生產的乒乓球直徑同樣標準嗎？

3、觀察根據上面數據繪制成的下圖，你能發現哪組數據較穩定嗎？
直徑/mm 直徑/mm

A廠 B廠

知識點2.如何計算一組數據的方差和標準差
例2.在一組數據中x1、x2、x3…xn中，它們與平均數的差的平方是(x1－ )2, (x2－ )2 , (x3－ )2 , …, (xn－ )2 .我們用它們的平均數，即用S2=1N [(x1－ )2＋(x2－ )2 ＋(x3－ )2…＋(xn－ )2 ]描述這組數據的離散程度，并把它叫做這組數據的 .
在有些情況下，需要用方差的算術平方根，即 描述一組數據的離散程度，并把它叫做這組數據的標準差.

【變式】甲、乙兩臺機床生產同種零，10天出的次品分別是：
甲：0、1、0、2、2、0、3、1、2、4
乙：2、3、1、2、0、2、1、1、2、1
分別計算出兩個樣本的平均數和方差，根據你的計算判斷哪臺機床的性能較好？

知識點3.
例3.已知，一組數據x1,x2,……，xn的平均數是10，方差是2，
①數據x1+3,x2+3,……，xn+3的平均數是 方差是 ，
②數據2x1,2x2,……，2xn的平均數是 方差是 ，
③數據2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均數是 方差是 ，
你能找出數據的變化與平均數、方差的關系嗎？

四．堂操練
1、一組數據： ， ，0， ，1的平均數是0，則 = .方差 .
2、如果樣本方差 ，
那么這個樣本的平均數為 .樣本容量為 .
3、已知 的平均數 10，方差 3，則 的平均數為 ，方差為 .
4、樣本方差的作用是 （ ）
A、估計總體的平均水平 B、表示樣本的平均水平
C、表示總體的波動大小 D、表示樣本的波動大小，從而估計總體的波動大小
5、小明和小兵10次100m跑測試的成績（單位：s）如下： （ ）
小明：14.8 , 15.5 , 13.9 , 14.4 , 14.1 , 14.7 , 15.0 , 14.2 , 14.9 , 14.5
小兵：14.3 , 15.1 ，15.0 ，13.2 ，14.2 ，14.3 , 13.5 , 16.1 , 14.4 , 14.8
如果要從他們兩人中選一人參加學校田徑運動會，那么應該派誰去參加比賽？

６、甲、乙兩人進行射擊比賽，在相同條下各射擊10次，他們的平均成績均為7環，10次射擊的方差分別分別是3和1.2。設問射擊成績較為穩定的是誰？

五．外拓展
一、填空題
1、隨機從甲、乙兩塊試驗田中各抽取100株麥苗測量高度，計算平均數和方差的結果為： ， ， ， ，則小麥長勢比較整齊的試驗田是 .
2、樣本數據3，6， , 4，2的平均數是3，則這個樣本的方差是 .
3、 數據 , , ， 的平均數為 ，標準差為5，那么各個數據與 之差的平方和為_________.
4、 已知數據1，2，3，4，5的方差為2，則11，12，13，14，15的方差為_________ ，標準差為_______ 。
5、已知一組數據-1、x、0、1、-2的平均數為0，那么這組數據的方差是 。
6、若一組數據的方差是1，則這組數據的標準差是 。若另一組數據的標準差是2，則方差是 。
7、一組數據的方差是0，這組數據的特點是 ；方差能為負數嗎?
二、選擇題
8、甲乙兩人在相同的條下各射靶10次，他們的環數的方差是S甲2=2.4，S乙2=3.2，則射擊穩定性是（ ）
A．甲高 B．乙高 C．兩人一樣多 D．不能確定
9、若一組數據 ， ，…， 的方差是5，則一組新數據 ， ，…， 的方差是 （ 　）
A．5 B．10 C．20 D．50
10.在統計中，樣本的標準差可以反映這組數據的 ( )
A．平均狀態 B．分布規律 C．離散程度 D．數值大小
11、已知甲、乙兩組數據的平均數分別是 ， ，方差分別是 ， ，比較這兩組數據，下列說法正確的是 ( )
A．甲組數據較好 B．乙組數據較好 C．甲組數據的極差較大 D．乙組數據的波動較小
12、下列說法正確的是 （ ）
A．兩組數據的極差相等，則方差也相等 B．數據的方差越大，說明數據的波動越小
C．數據的標準差越小，說明數據越穩定 D．數據的平均數越大，則數據的方差越大
13、對甲、乙兩同學100米短跑進行5次測試，他們的成績通過計算得； 甲= 乙，S2甲=0.025,S2乙=0.026,下列說法正確的是 （ ）
A、甲短跑成績比乙好 B、乙短跑成績比甲好
C、甲比乙短跑成績穩定 D、乙比甲短跑成績穩定
14、數據70、71、72、73、74的標準差是 （ ）
A、 B、2 C、 D、
三、解答題（每題10分，共30分）
16、若一組數據 , ，… , 的平均數是2，方差為9，則數據 ， ，…， 的平均數和標準差各是多少？

17、在一次投籃比賽中，甲、乙兩人共進行五輪比賽，每輪各投10個球，他們每輪投中的球數如下表：
輪次一二三四五
甲投中（個）68759
乙投中（個）78677
（1）甲在五輪比賽中投中球數的平均數是 ，方差是 ；
（2）乙在五輪比賽中投中球數的平均數是 ，方差是 ；
（3）通過以上計算，你認為在比賽中甲、乙兩人誰的發揮更穩定些

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