作課類別課題22.2.4一元二次方程的根與系數關系課型新授
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教 學 目 標知識
技能1.熟練掌握一元二次方程的根與系數關系.
2.靈活運用一元二次方程的根與系數關系解決實際問題.
3.提高學生綜合運用基礎知識分析解決較復雜問題的能力.
過程
方法學生經歷探索，嘗試發現韋達定理，感受不完全歸納驗證以及演繹證明.
情感
態度培養學生觀察，分析和綜合，判斷的能力，激發學生發現規律的積極性，激勵學生勇于探索的精神.
重點一元二次方程的根與系數關系
教學難點對根與系數關系的理解和推導
教學過程設計
教學程序及教學內容師生行為設計意圖
一、復習引入
導語：一元二次方程的根與系數有著密切的關系，早在16世紀法國的杰出數學家韋達發現了這一關系，你能發現嗎？
二、探究新知
1.課本思考
分析：將（x- x1）（x-x2）=0化為一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0與x2+px+ q=0對比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次項系數是1的一元二次方程如果有實數根，則一次項系數等于兩根和的相反數，常數項等于兩根之積.
2.跟蹤練習
求下列方程的兩根x1 、x2. 的和與積.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的兩根的和、積與系數之間有類似的關系嗎？
分析：這個方程的二次項系數等于2，與上面情形有所不同，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，檢驗上面的結論是否成立，若不成立，新的結論是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的兩根的和、積與系數之間有第3題中的關系嗎？
分析：利用求根公式，求出方程兩根，再通過計算兩根的和、積，得到方程的兩個根x1 、x2和系數a，b，c的關系，即韋達定理，也就是任何一個一元二次方程的根與系數的關系為：兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根之積等于常數項與二次項系數的比. 求根公式是在一般形式下推導得到，根與系數的關系由求根公式得到，因此，任何一個一元二次方程化為一般形式后根與系數之間都有這一關系.
5.跟蹤練習
求下列方程的兩根x1 、x2. 的和與積.
○13x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
○25x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展練習
○1已知一元二次方程2x2+bx+c=0的兩個根是-1，3，則b= ,c= .
○2已知關于x的方程x2+kx-2=0的一個根是1，則另一個根是 ,k的值是 .
○3若關于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩個根互為相反數，則p= ; 若兩個根互為倒數，則q= .
分析：方程中含有一個字母系數時利用方程一根的值可求得另一根和這個字母系數；方程中含有兩個字母系數時利用方程的兩根的值可求得這兩個字母系數.二次項系數是1時，若方程的兩根互為相反數或互為倒數，利用根與系數的關系可求得方程的一次項系數和常數項.
○4兩個根均為負數的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
○5.兩根異號，且正根的絕對值較大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+ x- =0
○6.若關于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,當m 時方程有兩個正根；當m 時方程有兩個負根；當m 時方程有一個正根一個負根，且正根的絕對值較大.
分析：根據方程的根的正負情況，結合根與系數關系，確定方程各項系數的符號，○6中還需考慮m的值還得受根的判別式的限制.
三、課堂訓練
1.完成課本練習
2.補充練習：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的兩根，利用根與系數的關系求下列各式的值：○1 ； ○2 ○3 ； ○4 ；○5
四、小結歸納
本節課應掌握：
1. 韋達定理二次項系數不是1的方程根與系數的關系
2. 運用韋達定理時，注意隱含條件：二次項系數不為0，△≥0；
3.韋達定理的應用常見題型：
○1不解方程，判斷兩個數數否是某一個一元二次方程的兩根；
○2已知方程和方程的一根，求另一個根和字母系數的值；
○3由給出的兩根滿足的條件，確定字母系數的值；
○4判斷兩個根的符號；
○5不解方程求含有方程的兩根的式子的值.
五、作業設 計
復習鞏固作業和綜合運用為全體學生必做；拓廣探索為成績中上等學生必做；學有余力的學生，要求模仿編擬課堂上出現的一些補充題目進行重復練習.
補充作業：
已知一元二次方程x2+3x+1=0的兩個根是 ，
求 的值.
教師出示問題，引出課題學生初步了解本課所要研究的問題
學生通過去括號、合并得到一般形式的一元二次方程，教師適時點撥，分析總結得到結論.
學生獨自完成
鞏固上訴知識
教師出示探究問題，學生通過特殊例子入手，再通過一般形式推導證明，教師引導學生根據求根公式進行探究、交流，嘗試發現結論
學生獨立解決，并交流
先觀察，嘗試選用合適方法解題，之后交流，比較解法
學生嘗試歸納，師生總結
學生獨立完成，教師巡回檢查，師生集體訂正
學生歸納，總結闡述，體會，反思.并做出筆記.
創設問題情境，激發學生好奇心，求知欲
通過思考問題，讓學生知道二次項系數為1的一元二次方程的根與系數關系，為后面繼續研究做鋪墊
讓學生通過探究問題，體會從特殊到一般的認知過程，體會數學結論的確定性
加深對韋達定理的理解，培養學生的應用意識和能力
通過學生親自解題的感受與經驗，感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性.
進一步加強對所學知識的理解和掌握
通過歸納，進一步理解韋達定理及其應用
加強教學反思，幫助學生養成系統整理知識的學習習慣，加深認識，深化提高，形成學生自己的知識體系.
板 書 設 計
課題
二次項系數是1的方程根與系數的關系二次項系數不是1的方程根與系數的關系練習
歸納
教 學 反 思
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