一般地，若 ( ， 是常數， )，則 叫做 的一次函數，它的圖象是一條直線，函數解析式 6中的系數符號，決定圖象的大致位置及單調性( 隨 的變化情況)．如圖所示：
一次函數、二元一次方程、直線有著深刻的聯系，任意一個一次函數 都可看作是關于 、 的一個二元一次方程 ；任意一個關于 、 的二元一次方程 ，可化為形如 ( )的函數形式．坐標平面上的直線可以表示一次函數與二元一次方程，而利用方程和函數的思想可以研究直線位置關系，求坐標平面上的直線交點坐標轉化為 解由函數解析式聯立的方程組．
【例題求解】
【例1】 如圖，在直角坐標系 中，直角梯形OABC的頂點A(3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為 ，過A、P兩點的直線為 ，且BP⊥AP，則 = ．
思路點撥 解題的關鍵是求出P點坐標，只需運用幾何知識建立OP的等式即可．
【例2】 設直線 ( 為自然數)與兩坐標軸圍成的三角形面積為 ( ＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為( )
A．1 B． C． D．
思路點撥 求出直線與 軸、 軸交點坐標，從一般形式入手，把 用含 的代數式表示．
【例3】 某空軍加油飛機接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機進行空中加油．在加油過程中，設運輸飛機的油箱余油量為Q1噸，加油飛機的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為 分鐘，Q1、Q2與 之間的函數圖象如圖所示，結合圖象回答下列問題：
(1)加油飛機的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機需多少分鐘?
(2)求加油過程中，運輸飛機的余油量Q1 (噸)與時間 (分鐘)的函數關系式；
(3)運輸飛機加完油后，以原速繼續飛行，需10小時到達目的地，油料是否夠用?說明理由．
思路點撥 對于(3)，解題的關鍵是先求出運輸飛機每小時耗油量．
注：（1）當自變量受限制時，一次函數圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數當自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據圖象求最值直觀明了．
（2）當一次函數圖象與兩坐標軸有交點時，就與直角三角形聯系在一起，求兩交點坐標并能發掘隱含條件是解相關綜合題的基礎．
【例4】 如圖，直線 與 軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內有一點P( ， )，且△ABP的面積與△A ABC的面積相等，求 的值．
思路點撥 利用S△ABP＝S△ABC建立含 的方程，解題的關鍵是把S△ABP表示成有邊落在坐標軸上的三角形面積和、差．
注：解函數圖象與面積結合的問題，關鍵是把相關三角形用邊落在坐標軸的其他三角形面 積來表示，這樣面積與坐標就建立了聯系．
【例5】 在直角坐標系中，有以A(一1，一1)，B(1，一 1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設它在折線 上側部分的面積為S，試求S關于的函數關系式，并畫出它們的圖象．
思路點撥 先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線 及其中的字母 的取值范圍進行分類 討論， 的取值決定了正方形在折線上側部分的圖形的形狀．
注：我們把有自變量或關于自變量的代數式包含在絕對值符號在內的一類函數稱為絕對值函數．去掉絕對值符號，把絕對值函數化為分段函數，這是解絕對值的一般思路．
學歷訓練
1．一次函數的自變量的取值范圍是-3≤ ≤6，相應函數值的取值范圍是-5≤ ≤-2，則這個函數的解析式為 ．
2．已知 ，且 ，則關于自變量 的一次函數 的圖象一定經過第 象限．
3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數 之間的關系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據關系圖回答下列問題：
(1)當售票數滿足0< ≤150時，盈利額 (元)與之間的函數關系式是 ．
(2)當售票數滿足150
(4)當售票數 滿足 時，此時利潤比 ＝150時多．
4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4，BD＝6，P是BD上的任一點，過P作EF∥AC，與平行四邊形的兩條邊分別交于點E，F，設BP= ，EF=，則能反映 與 之間關系的圖象是( )
5．下列圖象中，不可能是關于 的一次函數 的圖象是( )
6．小李以每千克0.8元的價格從批發市場購進若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數之間關系如圖所示，那么小李賺了( )
A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元
7．某醫藥研究所開發了一種新藥，在試驗藥效時發現，如果成人按規定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量 (微克)隨時間 (小時)的變化如圖所示，當成人按規定劑量服用后．
(1)分別求出 ≤2和 ≥2時 與 之間的函數關系式；
(2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長?
8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標系 O 中，使AB在 軸的正半軸上，A點的坐標是(1，0)
(1)經過C點的直線 與 軸交于點E，求四邊形AECD的面積；
(2)若直線 經過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線 的方程，并在坐標系中畫出直線 ． (2001年湖北省荊州市中考題)
9．如圖，已知點A與B的坐標分別為(4，0)，(0，2)
(1)求直線A B的解析式．
(2)過點C(2，0)的直線(與 軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標．
10．如圖，直線 與 軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標是 ．
11．在直角坐標系 O 中， 軸上的動點M（ ，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，當MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標為 ．
12．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為(15，6)，直線 恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝ ．
13．如果—條直線 經過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線 經過( )象限．
A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四
14．一個一次函數的圖象與直線 平行，與 軸、 軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標都是整數的的點有（ ）
A．4個 B．5個 C． 6個 D．7個
15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標平面上兩定點，C是 的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( )
A． 1個 B． 2個 C．3個 D．4個
16．有—個附有進、出水管的容器，每單位時間進、出的水量都是一定的，設從某時刻開始5分 鐘內只進不出水，在隨后的15分鐘內既進水又出水，得到時間 (分)與水量 (升)之間的關系如下圖．若20分鐘后只出水不進水，求這時(即 ≥20)y與 之間的函數關系式．
17．如圖 ，△AOB為正三角形，點 B坐標為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線 的函數解析式．
18．在直角坐標系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0， )，D( ，0)，當四邊形ABCD的周長最短時，求 的值．
19．轉爐煉鋼產生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關．現經過試驗得到下列數據：
通過電流強度（單位A）11.71.92.12.4
氧化鐵回收率（%）7579888778
如圖建立直角坐標 系，用橫坐標表示通過的電流強度，縱坐標表示氧化鐵回收率．
（1）將試驗所得數據在右圖所給的直角坐標系中用點表示（注：該圖中坐標軸的交點代表點（1，70）；
（2）用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率y關于通過電流x的函數關系，試寫出該函數在 1.7≤x≤2.4 時的表達式；
（3）利用題（2）所得函數關系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應該控制的范圍（精確到0.1A）．
20．如圖，直線OC、BC的函數關系式分別為 和 ，動點P(x，0)在OB上移動(0< <3)，過點P作直線 與 軸垂直．
(1)求點C的坐標；
(2)設△OBC中位于直線 左側部分的面積為S，寫出S與 之間的函數關系式；
(3)在直角坐標系中畫出(2)中的函數的圖象；
(4)當 為何值時，直線 平分△OBC的面積?
本文來自：逍遙右腦記憶 /chusan/59876.html
相關閱讀：銳角三角函數的應用
中考復習反比例函數的圖象與性質學案
相似三角形的應用
九年級數學競賽動態幾何問題透視輔導教案
根與系數關系