形如 （ ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基 本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．
求根公式 內涵豐富：它包含了初中階段已學過的全部代數運算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實根、實根的個數、何時有實根等基本問題；它展示了數學的簡潔美．
降次轉化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉化為)一元二次方程相關的問題，直接求解可能給解題帶來許多不便，往往不是去解這個二次方程，而是對方程進行適當的變形來代換，從而使問題易于解決．解題時常用到變形降次、整體代入、構造零值多項式等技巧與方法．
【例題求解】
【例1】滿足 的整數n有 個．
思路點撥 從指數運算律、±1的特征人手，將問題轉化為解方程．
【例2】設 、 是二次方 程 的兩個根，那么 的值等于（ ）
A． 一4 B．8 C．6 D．0
思路點撥 求出 、 的值再代入計算，則計算繁難，解題的關鍵是利用根的定義及變形，使多項式降次，如 ， ．
【例3】 解關于 的方程 ．
思路點撥 因不知曉原方程的類型，故需分 及 兩種情況討論．
【例4】設方程 ，求滿足該方程的所有根之和．
思路點撥 通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解．
【例5】 已知實數 、 、 、 互不相等，且 ， 試求 的值．
思路點撥 運用連等式，通過迭代把 、 、 用 的代數式表示，由解方程求得 的值．
注： 一元二次方程常見的變形形式有：
(1)把方程 （ ）直接作零值多項式代換；
(2)把方程 （ ）變形為 ，代換后降次；
(3)把方程 （ ）變形為 或 ，代換后使之轉化關系或整體地消去 ．
解合字母系數方程 時，在未指明方程類型時，應分 及 兩種情況討論；解絕對值方程需脫去絕對值符號，并用到絕對值一些性質，如 ．
學歷訓練
1．已 知 、 是實數，且 ，那么關于 的方程 的根為 ．
2．已知 ，那么代數式 的值是 ．
3．若 ， ，則 的值為 ．
4．若兩個方程 和 只有一個公共根，則( )
A． B． C． D．
5．當分式 有意義時， 的取值范圍是( )
A． B． C． D． 且
6．方程 的實根的個數是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．解下列關于 的方程：
(1) ；
(2) ； (3) ．
8．已知 ，求代數式 的值．
9．是否存在某個實數m，使得方程 和 有且只有一個公共的實根?如果存在，求出這個實數m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由．
注： 解公共根問題的基本策略是：當方程的根有簡單形式表示時，利用公共根相等求解，當方程的根不便于求出時，可設出公共根，設而不求，通過 消去二次項尋找解題突破口．
10．若 ，則 ＝ ．
11．已知 、 是有理數，方程 有一個根是 ，則 的值為 ．
12．已知 是方程 的一個正根。則代數式 的值為 ．
13．對于方程 ，如果方程實根的個數恰為3個，則m值等于( )
A．1 n．2 C． D．2．5
14．自然數 滿足 ，這樣的 的個數是( )
A．2 B．1 C．3 D．4
15．已知 、 都是負實數 ，且 ，那么 的值是( )
A． B． C． D．
16．已知 ，求 的值．
20．如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內接矩形，且S△ABC= S矩 形PQRS，其中 為不小于3的自然數．求證： 需為無理數．
參考答案
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