1. 若已知二次函數的圖象上任意三點坐標，則用一般式 （a≠0）求解析式。
2. 若已知二次函數圖象的頂點坐標（或對稱軸最值），則應用頂點式 ，其中（h，k）為頂點坐標。
3. 若已知二次函數圖象與x軸的兩交點坐標，則應用交點式 ，其中 為拋物線與x軸交點的橫坐標
二. 重點、難點：
重點：求二次函數的函數關系式
難點：建立適當的直角坐標系，求出函數關系式，解決實際問題。
三. 教學建議：
求二次函數的關系式，應恰當地選用二次函數關系式的形式，選擇恰當，解題簡捷；選擇不當，解題繁瑣；解題時，應根據題目特點，靈活選用。
典型例題
例1. 已知某二次函數的圖象經過點A（－1，－6），B（2，3），C（0，－5）三點，求其函數關系式。
分析：設 ，其圖象經過點C（0，－5），可得 ，再由另外兩點建立關于 的二元一次方程組，解方程組求出a、b的值即可。
解：設所求二次函數的解析式為
因為圖象過點C（0，－5），∴
又因為圖象經過點A（－1，－6），B（2，3），故可得到：
∴所求二次函數的解析式為
說明：當已知二次函數的圖象經過三點時，可設其關系式為 ，然后確定a、b、c的值即得，本題由C（0，－5）可先求出c的值，這樣由另兩個點列出二元一次方程組，可使解題過程簡便。
例2. 已知二次函數 的圖象的頂點為（1， ），且經過點
（－2，0），求該二次函數的函數關系式。
分析：由已知頂點為（1， ），故可設 ，再由點（－2，0）確定a的值即可
解： ，則
∵圖象過點（－2，0），
∴
∴
即：
說明：如果題目已知二次函數圖象的頂點坐標（h，k），一般設 ，再根據其他條件確定a的值。本題雖然已知條件中已設 ，但我們可以不用這種形式而另設 這種形式。因為在 這種形式中，我們必須求a、b、c的值，而在 這種形式中，在頂點已知的條件下，只需確定一個字母a的值，顯然這種形式更能使我們快捷地求其函數關系式。
例3. 已知二次函數圖象的對稱軸是 ，且函數有最大值為2，圖象與x軸的一個交點是（－1，0），求這個二次函數的解析式。
分析：依題意，可知頂點坐標為（－3，2），因此，可設解析式為頂點式
解：設這個二次函數的解析式為
∵圖象經過（－1，0），
∴
∴所求這個二次函數的解析式為
即：
說明：在題設的條件中，若涉及頂點坐標，或對稱軸，或函數的最大（最小值），可設頂點式為解析式。
例4. 已知二次函數 的圖象如圖1所示，則這個二次函數的關系式是__________________。
圖1
分析：可根據題中圖中的信息轉化為一般式（或頂點式）（或交點式）。
方法一：由圖象可知：該二次函數過（0，0），（2，0），（1，－1）三點
設解析式為
根據題意得：
∴所求二次函數的解析式為
方法二：由圖象可知，該二次函數圖象的頂點坐標為（1，－1）
設解析式為
∵圖象過（0，0），∴ ，∴
∴所求二次函數的解析式為
即
方法三：由圖象可知，該二次函數圖象與x軸交于點（0，0），（2，0）
設解析式為
∵圖象過（1，－1）
∴ ，∴
∴所求二次函數解析式為：
即：
說明：依題意后兩種方法比較簡便。
例5. 已知：拋物線在x軸上所截線段為4，頂點坐標為（2，4），求這個函數的關系式
分析：由于拋物線是軸對稱圖形，設拋物線與x軸的兩個交點為（x1，0），（x2，0），則有對稱軸 ，利用這個對稱性很方便地求二次函數的解析式
解：∵頂點坐標為（2，4）
∴對稱軸是直線x＝2
∵拋物線與x軸兩交點之間距離為4
∴兩交點坐標為（0，0），（4，0）
設所求函數的解析式為
∵圖象過（0，0）點
∴ ，∴
∴所求函數的解析式為
例6. 已知二次函數 的最大值是零，求此函數的解析式。
分析：依題意，此函數圖象的開口應向下，則有 ，且頂點的縱坐標的值為零，則有： 。以上兩個條件都應滿足，可求m的值。
解：依題意：
由①得
由②得： （舍去）
所求函數式為
即：
例7. 已知某拋物線是由拋物線 經過平移而得到的，且該拋物線經過點A（1，1），B（2，4），求其函數關系式。
分析：設所求拋物線的函數關系式為 ，則由于它是拋物線 經過平移而得到的，故a＝2，再由已知條件列出b、c的二元一次方程組可解本題。
解：設所求拋物線的函數關系式為 ，則由已知可得a＝2，又它經過點A（1，1），B（2，4）
故： 解得：
∴所求拋物線的函數表達式為：
說明：本題的關鍵是由所求拋物線與拋物線 的平移關系，得到
例8. 如圖2，已知點A（－4，0）和點B（6，0），第三象限內有一點P，它的橫坐標為－2，并且滿足條件
圖2
（1）求證：△PAB是直角三角形。
（2）求過P、A、B三點的拋物線的解析式，并求頂點坐標。
分析：（1）中須證 ，由已知條件：
，應過P作PC⊥x軸
（2）中已知P、A、B三點的坐標，且根據點的位置可用三種不同的方法求出拋物線的解析式
解：（1）過P作PC⊥x軸于點C，
由已知易知AC＝2，BC＝8
∴ ，解得：PC＝4
∴P點的坐標為（－2，－4）
由勾股定理可求得：
，又
∴
故△APB是直角三角形
（2）解法1，可設過P、A、B三點的拋物線的解析式為：
，
則有
∴
∴頂點坐標（1， ）
解法2：由拋物線與x軸交于A（－4，0），B（6，0），
可設 ，又拋物線過點P（－2，－4）可求a值
解法3：由A（－4，0），B（6，0）
可知拋物線的對稱軸為
可設 ，將A、B點的坐標代入解析式可求a，k的值
例9. 如圖3所示，是某市一條高速公路上的隧道口，在平面直角坐標系上的示意圖，點A和A1，點B和B1分別關于y軸對稱，隧道拱部分BCB1為一段拋物線，最高點C離路面AA1的距離為8米，點B離地面AA1的距離為6米，隧道寬AA1為16米
圖3
（1）求隧道拱拋物線BCB1的函數表達式；
（2）現有一大型運貨汽車，裝載某大型設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與路面的距離均為7米，問它能否安全通過這個隧道？請說明理由。
分析：（1）由已知可得頂點C的坐標為（0，8），B點坐標為（－8，6），從而可求其函數關系式。
（2）假設汽車從正中行駛，則其最右邊到y軸的距離是2，于是求出拋物線上橫坐標為2的點的坐標，再看它到地面AA1的距離是否大于7米，由此可判斷運貨汽車能否安全通過隧道。
解：（1）如圖所示，由已知得OA＝OA1＝8，OC＝8，
故C點坐標（0，8），B點坐標為（－8，6）
設隧道拱拋物線BCB1的函數表達式為 ，
則
∴隧道拱拋物線BCB1的函數關系式為
（2）設貨運汽車從正中行駛，則其最右邊正上方拋物線上的點的橫坐標為2，設這個點為D，過D作DE⊥x軸于E
當x＝2時，
∴D點坐標為（2，7 ），∴DE
∵ ＞7
∴該運貨汽車能安全通過這個隧道。
說明：要求拋物線的函數關系式，關鍵是確定其上的點的坐標，再選用適當的形式求其關系式。
本題第（2）小題中，還可以求出拋物線上縱坐標為7的點的坐標（有兩個），再比較這兩點間的水平距離是否大于4。
例10. 有這樣一個問題：
已知：二次函數 的圖象經過A（0，a），B（1，2）， ，求證：這個二次函數圖象的對稱軸是直線 ，題目中的矩形框部分是一段被墨水覆蓋而無法辨認的文字。
（1）根據現有的信息，你能否求出題目中二次函數的關系式？若能，寫出求解過程，若不能，說明理由。
（2）請你根據已有信息，在原題中的矩形框內，填加一個適當的條件，把原題補充完整。
分析：僅由A、B兩點無法求其關系式，但如果把待證的結論也看成已知條件，則可求出其關系式
解：（1）能 ，過程如下
由圖象經過點A（0，a），得c＝a
將圖象對稱軸為直線 看成已知條件，則
∵拋物線 的對稱軸是直線
∴
∴
∵拋物線經過點B（1，2）
∴
∴所求二次函數的關系式為
（2）可補充條件： （或 或其他條件）
說明：二次函數 配方后可變形為 ，故其圖象的對稱軸是直線 ，頂點坐標是（ ）
第（2）題的答案不唯一，補充的條件只要能求出其關系式為 即可。
例11. 已知四點A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），試問是否存在一個二次函數，使它的圖象同時經過這四個點？如果存在，請求出它的關系式；如果不存在，說明理由。
分析：先求出經過A、B、C的拋物線的關系式，再驗證點D是否在所求拋物線上，若在，則存在這樣的二次函數；若不在，則不存在這樣的二次函數。
解：設圖象經過A、B、C的二次函數為
則由圖象經過點B（0，6），可得c＝6
又∵圖象經過點A（1，2），C（－2，20）
解得：
∴經過A、B、C三點的二次函數為
∵當
∴點D（－1，12）在函數 的圖象上
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