函數是數學中最重要的概念之一，它是變量數學的標志，“函數”是從量的側面去描述客觀世界的運動變化、相互聯系，從量的側面反映了客觀世界的動態和它們的相互制約性．
函數的基本知識有：與平面直角坐標系相關的概念、函數概念、函數的表示法、函數圖象概念及畫法．
在坐標平面內，由點的坐標找點和由點求坐標是“數”與“形”相互轉換的最基本形式．點的坐標是解決函數問題的基礎，函數解析式是解決函數問題的關鍵，所以，求點的坐標、探求函數解析式是研究函數的兩大重要課題．
【例題求解】
【例1】 在平面直角坐標系內，已知點A(2，2)，B(2，-3)，點P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點P的個數為 ． (河南省競賽題)
思路點撥 先在直角坐標平面內描出A、B兩點，連結AB，因題設中未指明△APB的哪個角是直角，故應分別就∠A、∠B、∠C為直角來討論，設點P (0，x)，運用幾何知識建立x的方程．
注： 點的坐標是數與形結合的橋梁，求點的坐標的基本方法有：
(1)利用幾何計算求；
(2)通過解析式求；
(3)解由解析式聯立的方程組求．
【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度 與注水時間 之間的函數關系，大致是下列圖象中的( )
思路點撥 向燒杯注水需要時間，并且水槽中水面上升高 ．
注： 實際生活中量與量之間的關系可以形象地通過圖象直觀地表現出來，如心電圖、，股市行情走勢 圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發展變化 趨勢等有關信息中獲得啟示．
【例3】 南方A市欲將一批容易變質的水果運往B市銷售，共有飛機、火車、汽車三種運輸方式，現只可選擇其中的一種，這三種運輸方式的主要參考數據如下表所示：
運輸工具途中速度(千米／時) 途中費用(元／千米)裝卸費用(元)裝卸時間(小時)
飛機2001610002
火車100420004
汽車50810002
若這批水果在運輸(包括裝卸)過程中的損耗為200元/小時，記A、B兩市間的距離為x千米．
(1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機、火車、汽車運輸時的總支出費用(包括損 耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數關系式．
(2)應采用哪種運輸方式，才使運輸時的總支出費用最小?
(湖北省黃岡市中考題)
思路點撥 每種運輸工具總支出費用＝途中所需費用(含裝卸費用)+損耗費用；總支出費用隨距離變化而變化，由Wl?W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過討論選擇最佳運輸方式．
【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，把它放在直角坐標系中，使AD邊在y軸上，點C的坐標為(2 ，8)．
(1)畫出符合題目條件的菱形與直角坐標系；
(2)寫出A、B兩點的坐標；
(3)設菱形ABCD的對角線交點為P．問：在y軸上是否存在一點F，使得點P與點F關于菱形ABCD的某條邊所在的直線對稱，如果存在，寫出點F的坐標；如果不存在，請說明理由． (江蘇省常州市中考題)
思路點撥 (1)關鍵是探求點A是在y軸正半軸上、負半軸上還是坐標原點，只須判斷∠COy與∠CAD的大�。�(2)利用解直角三角形求A，B兩點坐標；(3)設軸上存在點F(0，y)，則P與F只可能關于直線DC對稱．
注：建立函數關系式，實際上都是根據具體的實際問題和一些特殊的關系、數據而抽象、歸納建立函數的模型．
【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點，若P為AB邊上的一個動點，PQ∥BC，且交AC于點Q，以PQ為一邊，在點A的右側作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y．
(1)當AP＝3cm時，求的值；
(2)設AP=cm時，求y與x的函數關系式；
(3)當y=2cm2，試確定點P的位置．(2001年天津市中考題)
思路點撥 對于(2)，由于點P的位置不同，y與x 之間存在不同的函數關系，故需分類討論；對于(3)，由相應函數解析式求x值．
注：確定幾何元素間的函數關系式，首先是借助幾何知識與方法把相應線段用自變量表示，再代入相應的等量關系式，需要注意的是：
(1)當圖形運動導致圖形之間位置發生變化，需要分類討論；
(2)確定自變量的幾何意義，常用到運動變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法．
學力訓練
1．如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90°，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請寫出這些直角三角形未知頂點的坐標 ．
(貴州省中考題)
2．在直角坐標系中有兩點A(4，0)，B(0，2)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當點C的坐標為 時，使得由點B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個滿足條件的點的坐標)． (廣西桂林市中考題)
3．根據指令(S≥0，0°
4．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸的夾角為60°，且點A的坐標為(一2，0)，點B在x軸上方，設AB＝ ，那么點B的橫坐標為( )
A． B． C． D．
(年南昌市中考題)
5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂的路程為300米，小軍先走了一段路程，爸爸才開始出發．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程(米)與登山所用的時間(分鐘的關系)(從爸爸開始登山時計時)，根據圖象，下列說法錯誤的是( )
A．爸爸登山時，小軍已走了50米
B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面
C．小軍比爸爸晚到山頂
D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快
(江蘇省淮安市中考題)
6．若函數 的自變量 的取值范圍為一切實數，則 的取值范圍是( )
A．m
7．如圖，在直角坐標系中，已知點A(4，0)、點B(0，3)，若有一個直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請寫出這個直角三角形 未知頂點的坐標(不必寫出計算過程)．
(常州市中考題)
8．如圖，用同樣規格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關問題：
（1）設鋪設地面所用瓷磚的總塊數為 ，請寫出 與 ( 表示第 個圖形)的函數關系式；
(2)按上述鋪設方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時 的值；
(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題(2)中，共需花多少元錢購買瓷磚?
(4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數相等情形?請通過計算說明為什么?
(吉林省中考題)
9．如圖，在平面直角坐標系中有一個正方形ABCD，它的4個頂點為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內及邊界上共有 個整點(即縱橫坐標都是整數的點)． (上海市初中數學競賽題)
10．如圖，已知邊長為l的正方形OABC在直角坐標系中，A、B兩點在第一象限內，OA與 軸的夾角為30°，那么點B的坐標是 ．
11．如圖，一個粒子在第一象限運動，在第一分鐘內它從原點運動到(1，0)，而后它接著按圖所示在與 軸、 軸平行的方向上來回運動，且每分鐘移動1個單位長度，那么在1989分鐘后這個粒子所處位置為 ．
(美國高中數學考試題)
12．在直角坐標系中，已知A(1，1)，在 軸上確定點P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點P共有( )
A．1個 B．2個 C． 3個 D．4個 (2001年湖北賽區選拔賽題)
13．已知點P的坐標是( l， )，這里 、 是有理數，PA、PB分別是點P到 軸和 軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為 ，則P點可能出現的象限有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 (江蘇省競賽題)
14．甲、乙二人同時從A地出發，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi
(河北省初中數學創新與知識應用競賽試題)
15．依法納稅是每個公民應盡的義務．《中華人民共和國個人所得稅法》規定，公民每月工資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應納稅所得額，都應交稅，且根據超過部分的多少按不 同的稅率交稅，詳細的稅率如下表：
級別全月應納稅所得額稅率(％)
1不超過500元部分5
2超過500元至2000元部分10
3超過2000元至5000元部分15
……
(1)某公民2002年10月的總收人為1350元，問他應交稅款多少元?
(2)設表示每月收入(單位：元)， 表示應交稅款(單位：元)，當1300
(四川省競賽題)
16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點D是AB上任意一點(A、B兩點除外)，過D作AB垂線與△ABC的直角邊相交于E，設AD= ，△ADE的面積為 ，當點D在AB上移動時，求 關于 之間的函數關系式．
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