9.3 一元一次不等式組(2課時)

課程目標
一、知識與技能目標
1.通過由學生動手操作:用各種不同長度的木棒去拼三角形,歸納出能拼出三角形的各邊長之間的關系和不能拼成三角形的三邊的特征,目的是歸納出同時符合幾不同條 件的不等式的公共范圍,即不等式組的解集.
2.通過確定不等式組的解集與確定方程組的解集進行比較,抽象出這二者中的異同,由此理解不等式組的公共解集.
二、過程與方法目標
通過由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、解不等式的概念來類推學習一元一次不等式組,一元一次不等式組的解集,解不等式組這些概念,發展學生的類比推理能力.
三、情感態度與價值觀目標
通過培養學生的動手能力發展學生的感性認識與理性認識,培養學生獨立思考的習慣.

教材解讀
本節內容是在學習了不等式的解集之后的知識內容,在此基礎上提出若某數同時滿足幾個不等式時,如何去確定這個數的取值范圍,這就是不等式組的公共解集的確定,在實際生活中同樣會遇到一個數所能滿足的條件不止一個的問題,這就要用到不等式去確定其解.

學情分析
不等式的解集已經在前一節中學習并運用其解決實際問題,若由多個不等式構成的不等式組的解集如何確定呢?不等式的解集可類比方程的解進行 求解,是否不等式組的解與方程組的解也類似呢?因此學生就會進行類比,進而可得出其解集的公共部分.

第1課時
一、創設情境,導入新課
冬天到了,天氣漸漸變冷,同學們在上學的路上未免會感覺到寒意,尤其是騎自行車上學的同學更覺得冷,媽媽們為了他們的孩子能過得舒服一些,都會給他們的孩子準備好帽子、手套來御寒.就拿手套來說吧,貴的可達幾十元錢一雙,便宜的呢,只要一、二元就可買到,但其質量和保暖程度肯定不相同,便宜的可能用的時間不長,而貴的對小孩來說不善于保護,又未免太奢侈了,作為家長肯定希望所買的東西價廉又物美,假設媽媽的要求是手套的價格不能超過6元,而小孩又不喜歡太便宜的,他們對家長的要求是所買的手套價格不能少于4元,同學們,如果你是商店售貨員,你會拿什么價格的手套給他們選擇呢?如果商店里的手套從每雙2.5元至16元的各種價格都有,且每雙不同的手套之間都是按逐漸提高0.5元的價格進行呈列的,你能確定他們的選擇有幾種嗎?
當然可以,太簡單了,要使 買的手套讓家長和小孩都滿意可讓他們從每雙4元至6元的這些物品中選,由于這檔手套有4元/雙,4.5元/雙,5元/雙,5.5元/雙,6元/雙共五種,故售貨員只需從這五種價格的手套中取出供他們挑選,就能讓母子同時滿意.這里我們所用到的數學知識就是:如何確定不等式組的公共解集.今天我們就共同來探討不等式組吧.
二、師生互動,課堂探究
(一)提出問題,引發討論
在學習不等式組之前,我們來開展小組活動吧,每個小組的同學準備五根小木棒,使它們的長度依次為3cm、10cm、6cm、9cm和14cm,用這些小木棒來搭三角形,要求所搭成的三角形的三邊中必須有3cm和10cm這兩根木棒,請大家先想想我們還有多少種不同的搭配方式,它們都能搭出三角形嗎?再動手試試,驗證你們的想法.
搭配方式有三種:3cm、10cm、6cm;3cm、10cm、9cm;3cm、10cm、14cm.但并不是每種搭配方式都能搭成三角形.要構成三角形,必須有兩條較短的邊拼起來后要略比長邊長,也即“任意兩邊之和大于第三邊”，將此不等式變形后成為“任意兩邊之差小于第三邊”，這樣可發現只有一種搭配方式可構成三角形，通過拼圖驗證可得到如課本P143中圖.

用不等式來解釋,設第三邊長為xcm,則有x>10-3又x<10+3,即x>7與x<13,這二者并不矛盾,比7大比13小的數在數軸上可表示為如圖9.3-1-1的陰影部分,在這部分數中任取一個都能與10cm和3cm構成一個三角形,所給的三條邊6cm、9cm、14cm中只有9cm符合要求.這就是說第三邊的取值必須同時滿足兩個條件:比7大且比13小,把x>7與x<13組合成一個整體即構成一元一次不等式組,即把兩個不等式合起來,組成一個一元一次不等式組.由此例可知不等式組的解集即為各個不等式的解集的公共部分.
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內容講解
通過以上分析可知一般地,幾個不等式的解集的公共部分,叫做由它們所組成的不等式組的解集,解不等式組就是求它的解集.
例:解下列不等式組,并把解集在數軸上表示出來.
(1) (2)
(3) (4)
解:(1)由①得x>5,由②得x>-2,在數軸上表示為如圖.

它們的公共部分為x>5,故不等式組的解集為x>5.
(2)由不等式①得x<6,由不等式②得x≥1,在數軸上表示為如圖.

它們的公共部分為1≤x<6,即為不等式組的解集.
(3)由不等式①得x<1,由不等式②得x≥2,在數軸上表示為如圖.

它們沒有公共部分,故此不等式組無解.
(4)由不等式①得x<-3,由不等式②得x< ,在數軸上表示為如圖.

它們的公共部分是x<-3,即為不等式組的解集.
由上述四例可發現不等式組的解集有四種情況:
若a>b:①當 時,則不等式的公共解集為x>a;
②當 時,不等式的公共解集為b③當 時,不等式的公共解集為x④當 時,不等式組無解.
練習:解下列不等式組:
(1) (2) (3)
解:(1)不等式2x+5≤3(x+2)的解為x≥-1,不等式 的解為x<3,故不等式組的解集為-1≤x<3.
(2)不等式2x-7<3(1-x)的解為x<2,不等式 的解為x≤-1,故不等式組的公共解集為x≤-1.
(3)不等式5x+3>8x-2的解為x< ,不等式 的解為x<3,故不等式組的公共解集為x< .
2.探究活動
試確定以下不等式組的解集:
(1)求不等式組 的 整數解.
(2)解不等式組 (3)
解:(1)2(x-6)<3-x的解集為x<5, 的解集為x≥-1.不等式組的公共解集為-1≤x<5,其整數解有-1,0,1,2,3,4,故不等式組的整數解為-1,0,1,2,3,4.
(2)不等式2x-5<3x+4的解集為x>-9,不等式4(3x-1)<5(2x+1)的解集為x< ,不等式 的解集為x≤ ,不等式組的公共解集必須同時滿足這三個不等式,故其解集為-9 (3)x-7<0的解集為x<7,x-5<0的解集為x<5,x+3>0的解集為x>-3,x+1>0的解集為x>-1,不等式組的解集必須同時滿足這四個不等式,故其公共解集為-1 (三)歸納總結,知識回顧
1.你是如何確定方程組的解的?
方程組的解即是指同時滿足各個方程的解.
2.方程組的解與不等式組的解有什么異同?
無論是方程組還是不等式組,它們的解均是指同時滿足各個方程(不等式)的解的公共部分,但方程組的解一般只有一組,而不等式組的解一般有很多范圍可選擇.
3.不等式組的解的四種情形.

作業設計
(一)雙基練習
1.解不等式組:
2.解不等式組:
3.解不等式組:
4.解不等式組:
(二)創新提升
5.是否存在實數x,使得x+3<5,且x+2>4.
(三)探究拓展
6.已知不等式組 的解集為-1
參考答案
1. 5.不存在 6.a=1,b=-2,故(a+1)(b-1)=2(-3)=-6

第2課時
一、創設情境,導入新課
在上課之前,老師請大家來幫一個忙,幫老師來解決一道難題:老師有一個熟人姓王,他有一個哥哥和一個弟弟,哥哥的年齡是20歲,小王的年齡的2倍加上他弟弟年齡的5倍等于97.現在小王要老師猜猜他和他弟弟的年齡各是多少?俗話說三個臭皮匠,可抵一個諸葛亮,現在我們全班同學可抵得上很多諸葛亮,所以老師相信 大家一定有辦法的.
在上述已知條件中只有一個等量關系式:小王年齡的2倍+弟弟年齡的5倍=97,而小王及弟弟的年齡是未知的,他們年齡之間的等量關系也沒有說出,在一個等式中有兩個未知數是無法確定未知數的值,還必須再找出另一個關系式,還有已知條件即是哥哥的年 齡為20歲,如何利用這個已知條件呢?只有利用一個隱含的條件哥哥、小王、弟弟三者的年齡是逐漸減小的，即是20>小王的年齡>弟弟的年齡,若設小王有x歲,弟弟為y歲,則有y 二、師生互動,課堂探究
(一)提出問題,引發討論
當一個未知數同時滿足幾個不等關系時,我們就按這些關系分別列幾個不等式,這樣就得到不等式組,用不等式組解決實際問題時,其公共解是否一定為實際問題的解呢?請舉例說明.
例:甲以5km/時的速度進行跑步鍛煉,2小時后,乙騎自行車從同地出發沿同一條路追趕甲.但他們兩人約定,乙最快不早于1小時追上甲,最慢不晚于1小時15分追上甲.你能確定乙騎車的速度應當控制在什么范圍嗎?
分析:甲以5km/時的速度前進,2小時后,甲前進了10km,此時,乙再開始騎自行車追趕甲,但乙追上甲的時間不早于1小時即是不能比1小時少,故乙追上甲的最少時間應多于1小時,而這段時間甲仍在前進,乙追上甲時所走的路程不止他1小時的路程,故有不等式:v2?1≤(2+1)×5,由此得v2≤15;又因為乙追上甲的時間不晚于1小時15分(1 小時),也就是乙追上甲的時間不能超過1 小時,即比1 小時要少,實際上乙追上甲所走的路程要比他在1 小時所走的路程少,在乙開始追甲時,甲也在以原來的速度繼續前進,實際上甲走的總時間應比(2+1 )小時少,故又有不等式:v2?1 ≥(2+1 )×5即 v2≥ ×5,故v2≥13.同一個人的速度,既要比13大又要比15小,故它的速度就是不等式組 的公共解集:13≤v2≤15.由于速度是一個正數,既可以是整數,也可以是分數,因此,乙的速度就是根據題意所列不等式組的公共解集.
但由此一例,不能代表全體,實際上也有方程的解不全是不等式組的解的時候.
(二)導入知識,解釋疑難
1.教材內容講解
如課本例2(P145)(請同學自己閱讀,動手列不等式組進行求解,再將自己答案與課本答案進行比較)不等式組的解集為15 又如:將若干只雞放入若干個籠,若每個籠里放4只,則有1只雞無籠可放;若每個籠里放5只,則有1籠無雞可放,那么至少有多少只雞,多少個籠?
分析:根據若每個籠里放4只雞,則有1只雞無籠可放這句話可得“雞的數量為4×籠的數量＋1”,若每個籠里放5只,則有一籠無雞可放,是否有雞可放的籠里都放滿了呢?這就有兩種可能,可能最后一籠沒有5只,也可能最后一籠恰好也有5只,因此可知“4×籠的數量＋1”小于或等于“5×(籠的數量－1)”，但“4×籠的數量＋1”肯定比“5×(籠的數量－2)”要多，于是:
設有x只雞,y個籠,根據題意
∴5(y-2)<4y+1≤5(y-1)
解此不等式組得:y≥6,x<11 故6≤y<11
此不等式組的解中包括整數和分數,但y表示雞的籠子不可能為分數,故y只 能取6、7、8、9、10這五個數.而題中問至少有多少只雞,多少個籠子,故y只能為6,允的只數為4×6+1 =25只
2.探究活動
把16根火柴首尾相接,圍成一個長方形(不包括正方形),怎樣找到圍出不同形狀的長方形個數最多的辦法呢?最多個數又是多少呢?
分析:不妨假設每根火柴長為1,則16根火柴長為16,圍成長方形,則相鄰兩邊的和為8,如果一邊長為x,另一邊長則為8-x,且8-x必須大于x.又x必須為大于1的數最小等于1,于是得不等式組 ,解不等式組得1≤x<4,因為x為正整數,所以x所取的值為1,2,3.由此只要分別取1根火柴,2根火柴,3根火柴作相鄰兩邊中較短的一條邊,對應的鄰邊也分別取7根火柴,6根火柴,5根火柴,就能圍成所有不同形狀的長方形, 這樣的長方形一共有3個.
(三)歸納總結,知識回顧
應用不等式組解決實際問題的步驟:1.審清題 意;2.設未知數,根據所設未知數列出不等式組;3.解不等式組;4.由不等式組的解確立實際問題的解;5.作答.(與列方程組解應用題進行比較)

作業設計
(一)雙基練習
1.已知方程組 有正整數解,則k的取值范圍是_________.
2.若不等式組 無解,求a的取值范圍.
3.當2(m-3)< 時,求關于x的不等式 >x-m的解集.
4.某學校為學生安排宿舍,現有住房若干間,若每間5人還有14人安排不下,若每間7人,則有一間還余一些床位,問學校有幾間房可以安排學生住宿?可以安排住宿的學生多少人?
(二)創新提升
5.某商場為了促銷,開展對顧客贈送禮品活動,準備了若干件禮品送給顧客,在一次活動中,如果每人送5件,則還余8件,如果每人送7件,則最后一人還不足3件.設該商場準備了m件禮品,有x名顧客獲贈,請回答下列問題:
(1)用含x的代數式表示m.
(2)求出該次活動中獲贈顧客人數及所準備的禮品數.
(三)探究拓展
6.乘某城市的一種出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內都需付10元車費),達成或超過5km后,每增加1km,加價1.2元(不足1km部分按1km計).現在某人乘這種出租汽車從甲地到乙地,支付車費17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少?

參考答案
1.k>-4 2.a≤2 3.x< 4.學校準備了8,9和10間房,可供54,59或64位學生住. 5.(1)m=5x+8 (2)有7人獲禮品贈送,共有禮品43件 6.從甲地到乙地的路程大于 10km,小于或等于11km.

課后習題答案
習題9.3
1.(1)x<2 (2)x>4 (3)2 2.(1) 3.略 4.125元～137元
5.多抽0.4至0.55噸水

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