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求三角函數的定義域和值域

【例1】 求下列函數的值域

(1)y=2sinxcos²x/(1+sinx)

(2)y=sin²x+2sin xcos x+3cos²x

【解答】

(1)原式=2sinx(1-sinx)=-2sin²x+2sinx=-2(sinx-1/2)²+1/2，∵-1≤sinx≤1，∴y∈(-4，

(2)y=1+2cos²x+sin2x=1+cos2x+1+sin2x=2+√2sin(2x+π/4)，∴y∈[2-√2，2+√

三角函數的單調性

【例1】 已知函數f(x)=sin²x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-cos²x-√3，求函數f(x)的最小正周期和單調遞減區間。

【解答】f(x)=-cos2x+2√3sin(x+π/4)·cos(x-π/4)-√3=2√3sin²(x+π/4)-cos2x-√3=√3[1-cos(2x+π/2)]-cos2x-√3=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)，∴T=π，單調遞減區間為[kπ+π/3，kπ+5π，k∈Z

【例2】設a∈R,f(x)=cosx(asin x-cos x)+cos²(π/2-x)，滿足f(-π/3)=f(0)，求函數f(x)在[π/4，11π上的最大值和最小值.

【解答】f(x-=asin2x/2-cos²x+sin²x=asin2x/2-cos2x，∵f(-π/3)=f(0)，∴a=2√3，∴f(x)=√3sin2x-cos2x=2sin(2x-π/6)，∴x∈[π/4，11π，∴2x-π/6∈[π/3，3π，所以f(x)min=√2，f(x)max=2

【小度提示】

① 熟記y=sin x,y=cos x,y=tan x的單調區間是求復雜的三角函數單調區間的基礎.

② 求形如y=Asin(ωx+φ)+k的單調區間時,只需把ωx+φ看作一個整體代入y=sin x的相應單調區間即可,注意A的正負以及要先把ω化為正數.求y=Acos(ωx+φ)+k和y=Atan(ωx+φ)+k的單調區間類似.

三角函數的周期性和奇偶性

【例題】設函數f(x)=cos ωx(√3sin ωx+cos ωx)，其中0<ω<2。

(1)若f(x)的周期為π,求當-π/6≤x≤π/3時,f(x)的值域;

(2)若函數f(x)的圖象的一條對稱軸為x=π/3，求ω的值.

【解答】

(1)f(x)=√3sin2ωx/2+cos²ωx=√3sin2ωx/2+cos2ωx/x+1/2=sin(2ωx+π/6)+1/2，∵T=π,∴ω=1，∴f(x)=sin(2x+π/6)+1/2，x∈[-π/6，π，∴2x+π/6∈[-π/6,5π，∴f(x)的值域為[0，

(2)2ωx+π/6=π/2+kπ，∴2πω/3+π/6=π/2+kπ，ω=1/2+3k/2，k∈Z，即0<1/2+3k/2<2，-1/3

求三角函數周期的方法

(1)利用周期函數的定義;

(2)利用公式：y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為2π/|ω|，y=tan(ωx+φ)的最小正周期為π/|ω|。

(3)利用圖象.

三角函數的對稱性

正、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。正切函數的圖象只是中心對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數形結合思想的應用。

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