數學試卷（文科） 2019.4
本試卷共4 頁，150 分．考試時長120 分鐘．考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共40 分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目
要求的一項．
1．已知集合A＝ ，B＝ ，則 ＝
A．   B．   C．  D．
2、已知向量 ，若 ，則t ＝
A．1  B．2  C．3　　　 D．4
3．某程序的框圖如圖所示，若輸入的z＝i（其中i為虛數單位），則輸出的S 值為
A．－1 　　
B．1 　　　
C．－i 　　
D．i
4．若x，y 滿足 ，則 的值為
A． 　　　　B．3
C． 　　　　D．4
5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則其體積為
A． 　　　B．
C． 　　D．
6、已知點P 在拋物線W： 上，且點P到W的準線的距離與點P到x軸的距離相等，則 的值為
　A、 　　　B、1　　　　C、 　　　　D、2
7．已知函數 ，則“ ”是“函數 是偶函數“的
A．充分不必要條件 　　B．必要不充分條件
C．充分必要條件 　　　D．既不充分也不必要條件
8．某生產基地有五臺機器，現有五項工作待完成，每臺機器完成每項工作后獲得的效益值
如表所示．若每臺機器只完成一項工作，且完成五項工作后獲得的效益值總和，則
下列敘述正確的是

A．甲只能承擔第四項工作 　　B．乙不能承擔第二項工作
C．丙可以不承擔第三項工作 　D．獲得的效益值總和為78
二、填空題共6 小題，每小題5 分，共30 分．
9．函數 的定義域為＿＿＿
10．已知數列 的前n項和為 ，且 ，則 ＝_______．
11．已知l 為雙曲線C： 的一條漸近線，其傾斜角為 ，且C 的右焦點為（2,0），點C的右頂點為＿＿＿＿，則C 的方程為_______．
12．在 這三個數中，最小的數是_______．
13．已知函數 ，若 ，則函數 的單調增區間為＿＿
14．給定正整數k≥2，若從正方體ABCD－A1B1C1D1的8個頂點中任取k個頂點，組成一個集合M＝ ，均滿足 ，使得直線 ，則k的所有可能取值是＿＿＿
三、解答題共6 小題，共80 分．解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程．
15．（本小題滿分13 分）
在△ABC 中，∠C＝ ， ．
（Ⅰ）若c＝14，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面積為3 ，求c的值．
16．（本小題滿分13 分）
已知數列 是等比數列，其前n項和為 ，滿足 ， 。
（I）求數列 的通項公式；
（II）是否存在正整數n，使得 ＞2019？若存在，求出符合條件的n的最小值；若不存在，說明理由。

17．（本小題滿分14 分）
如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，點M ，N
分別為線段PB，PC 上的點，MN⊥PB
（Ⅰ）求證： 平面PBC⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求證：當點M 不與點P ，B 重合時，M N ∥平面ABCD；
（Ⅲ）當AB＝3，PA＝4時，求點A到直線MN距離的最小值。

18．（本小題滿分13 分）
一所學校計劃舉辦“國學”系列講座。由于條件限制，按男、女生比例采取分層抽樣的方法，從某班選出10人參加活動，在活動前，對所選的10名同學進行了國學素養測試，這10名同學的性別和測試成績（百分制）的莖葉圖如圖所示。
（I）根據這10名同學的測試成績，分別估計該班男、女生國學素養測試的平均成績；
（II）這10名同學中男生和女生的國學素養測試成績的方差分別為 ， ，試比較 與 的大小（只需直接寫出結果）；
（III）若從這10名同學中隨機選取一男一女兩名同學，求這兩名同學的國學素養測試成績均為優良的概率。（注：成績大于等于75分為優良）

19．（本小題滿分14 分）
已知橢圓C： 的離心率為 ，橢圓C 與y 軸交于A ， B 兩點，
且｜AB｜＝2．
（Ⅰ）求橢圓C 的方程；
（Ⅱ）設點P是橢圓C上的一個動點，且直線PA，PB與直線x＝4分別交于M ， N 兩點．是否存在點P使得以MN 為直徑的圓經過點（2,0）？若存

存在，求出點P的橫坐標；若不存在，說明理由。

20．（本小題滿分13 分）
已知函數f (x) ＝
（Ⅰ）求曲線 f (x)在點（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數f (x)的零點和極值；
（Ⅲ）若對任意 ，都有 成立，求實數 的最小值。

海淀區高三年級第二學期期中練習參考答案
數學（文科） 2019.4
閱卷須知:
1.評分參考中所注分數，表示考生正確做到此步應得的累加分數。
2.其它正確解法可以參照評分標準按相應步驟給分。
一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D C A B A B
二、填空題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
9．

說明：1.第9題,學生寫成 的不扣分
2.第13題寫成開區間 的不扣分,
沒有寫 的,扣1分
3. 第14題有錯寫的，則不給分
只要寫出7或8中之一的就給1分，兩個都寫出，沒有其它錯誤的情況之下給1分
寫出5，6中之一的給2分，兩個都寫出，且沒有錯誤的情況之下給4分

三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.解：(Ⅰ) 方法一：
在 中，因為 ， ……………………….2分
即 ……………………….3分
所以 . ……………………….5分

方法二：過點 作線段 延長線的垂線，垂足為
因為 ，所以 ……………………….1分
在 中， ……………………….3分
在 中， ……………………….5分
（Ⅱ）方法一：
因為 . ……………………….7分
所以 ，解得 . ……………………….9分
又因為 . …………………….11分
所以 ,
所以 . …………………….13分
方法二：過點 作線段 延長線的垂線，垂足為
因為 , 所以 .
又因為 , ……………………….7分
即 ,
所以 . ……………………….9分
在 中， . ……………………….11分
所以 . …………………….13分
16.解：
(Ⅰ) 設數列 的公比為 ，
因為 ，所以 . ……………………….1分
因為 所以 ……………………….2分
又因為 ， ……………………….3分
所以 , ……………………….4分
所以 （或寫成 ） ……………………….7分
說明：這里的 公式都單獨有分，即如果結果是錯的，但是通項公式或者下面的前n項和公式正確寫出的，都給2分
(Ⅱ)因為 . ……………………….10分
令 , 即 ，整理得 . ……………………….11分
當 為偶數時，原不等式無解；
當 為奇數時，原不等式等價于 ，解得 ，
所以滿足 的正整數 的最小值為

11. ……………………….13分
17解：（Ⅰ）證明：在正方形 中， . ……………………….1分
因為 平面 ， 平面 ，所以 . ……………………….2分
又 ， 平面 ， ……………………….3分
所以 平面 . ……………………….4分
因為 平面 , 所以平面 平面 . ……………………….5分
（Ⅱ）證明：
由（Ⅰ）知, 平面 ， 平面 ，所以 . ……………………….6分
在 中， ， ， 所以 ， ……………………….7分
又 平面 ， 平面 ， ……………………….9分
所以 //平面 . …………………….10分
（Ⅲ）解：因為 , 所以 平面 ， …………………….11分
而 平面 ，所以 ， …………………….12分
所以 的長就是點 到 的距離， …………………….13分
而點 在線段 上
所以 到直線 距離的最小值就是 到線段 的距離，
在 中， 所以 到直線 的最小值為 . …………………….14分

18.解:
（Ⅰ）設這10名同學中男女生的平均成績分別為 .
則 ……………………….2分
……………………….4分
（Ⅱ）女生國學素養測試成績的方差大于男生國學素養成績的方差. ……………………….7分
（Ⅲ）設“兩名同學的成績均為優良”為事件 ， ……………………….8分
男生按成績由低到高依次編號為 ，
女生按成績由低到高依次編號為 ，
則從10名學生中隨機選取一男一女兩名同學共有24種取法 …………………….10分
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
其中兩名同學均為優良的取法有12種取法 …………………….12分
， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，
所以 ，
即兩名同學成績均為優良的概率為 . …………………….13分
19. 解：
（Ⅰ）由已知 ，得知 ， , ……………………….1分
又因為離心率為 ，所以 . ……………………….2分
因為 ，所以 , ……………………….4分
所以橢圓 的標準方程為 . ……………………….5分
（Ⅱ）解法一：假設存在.
設
由已知可得 ，
所以 的直線方程為 ， ……………………….6分
的直線方程為 ，
令 ，分別可得 ， ， ……………………….8分
所以 ， ……………………….9分
線段 的中點 ， ……………………….10分
若以 為直徑的圓經過點 ，
則 , ……………………….11分
因為點 在橢圓上，所以 ，代入化簡得 ， ……………………….13分
所以 ， 而 ，矛盾，
所以這樣的點 不存在. ……………………….14分
解法二：
假設存在，記 .
設

由已知可得 ，
所以 的直線方程為 ， ……………………….6分
的直線方程為 ，
令 ，分別可得 ， ， ……………………….8分
所以
因為 為直徑，所以 ……………………….9分
所以
所以 ……………………….11分
因為點 在橢圓上，所以 ， ……………………….12分
代入得到 ……………………….13分
所以 ，這與 矛盾 ……………………….14分
所以不存在
法三 ：
假設存在，記 ,
設
由已知可得 ，
所以 的直線方程為 ， ……………………….6分
的直線方程為 ，
令 ，分別可得 ， ， ……………………….8分
所以
因為 , 所以 ……………………….9分
所以
所以 ……………………….11分
因為點 在橢圓上，所以 ， ……………………….12分
代入得到 ,
解得 或 ……………………….13分
當 時，這與 矛盾
當 時，點 在 軸同側，矛盾
所以不存在 ……………………….14分
20.解：（Ⅰ）因為 ， ……………………….1分
所以 . ……………………….2分
因為 ，所以曲線 在 處的切線方程為 .……………………..4分
（Ⅱ）令 ，解得 ，
所以 的零點為 . ……………………….5分
由 解得 ，
則 及 的情況如下：

極小值

……………………….7分
所以函數 在 時,取得極小值 ……………………….8分

（Ⅲ）法一：
當 時， .
當 時， . ……………………….9分
若 ，由（Ⅱ）可知 的最小值為 ， 的值為 ，…………………….10分
所以“對任意 ，有 恒成立”等價于
即 ， ……………………….11分
解得 . ……………………….12分
所以 的最小值為1. ……………………….13分
法二：
當 時， .
當 時， . ………………………. 9分
且由（Ⅱ）可知， 的最小值為 ， ……………………….10分
若 ，令 ，則
而 ，不符合要求，
所以 . ……………………….11分
當 時， ,
所以 ，即 滿足要求， ……………………….

12分
綜上， 的最小值為1. ……………………….13分
法三：
當 時， .
當 時， . ……………………….9分
且由（Ⅱ）可知， 的最小值為 ， ……………………….10分
若 ，即 時，
令 則任取 ,
有
所以 對 成立，
所以必有 成立，所以 ，即 . ……………………….11分[來源:Zxxk.Com]
而當 時， ,
所以 ，即 滿足要求， ……………………….12分
而當 時，求出的 的值，顯然大于1，
綜上， 的最小值為1. ……………………….13分

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