2013年普通高等學校招生全國統一考試(陜西卷)
文科數學
注意事項:
1. 本試卷分為兩部分, 第一部分為, 第二部分為非.
2. 考生領到試卷后, 須按規定在試卷上填寫姓名、準考證號，并在答題卡上填涂對應的試卷類型信息.
3. 所有解答必須填寫在答題卡上指定區域內. 考試結束后, 將本試卷和答題卡一并交回.
第一部分(共50分)
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1. 設全集為R, 函數 的定義域為, 則 為
(A) (－∞,1)(B) (1, + ∞)(C) (D)
2. 已知向量 , 若a//b, 則實數等于
(A) (B)
(C) 或 (D) 0
3. 設a, b, c均為不等于1的正實數, 則下列等式中恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
4. 根據下列算法語句, 當輸入x為60時, 輸出y的值為
(A) 25
(B) 30
(C) 31
(D) 61
5. 對一批產品的長度(單位: )進行抽樣檢測, 下圖喂檢測結果的頻率分布直方圖. 根據標準, 產品長度在區間[20,25)上的為一等品, 在區間[15,20)和區間[25,30)上的為二等品, 在區間[10,15)和[30,35)上的為三等品. 用頻率估計概率, 現從該批產品中隨機抽取一件, 則其為二等品的概率為
(A) 0.09(B) 0.20 (C) 0.25(D) 0.45
6. 設z是復數, 則下列命題中的假命題是
(A) 若 , 則z是實數(B) 若 , 則z是虛數
(C) 若z是虛數, 則 (D) 若z是純虛數, 則
7. 若點(x,y)位于曲線y = x與y = 2所圍成的封閉區域, 則2x－y的最小值為
(A) －6(B) －2(C) 0(D) 2
7. 已知點(a,b)在圓 外, 則直線ax + by = 1與圓O的位置關系是
(A) 相切(B) 相交(C) 相離(D) 不確定
7. 設△ABC的內角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 若 , 則△ABC的形狀為
(A) 直角三角形(B) 銳角三角形(C) 鈍角三角形(D) 不確定
10. 設[x]表示不大于x的最大整數, 則對任意實數x, y, 有
(A) [－x] = －[x](B) [x + ] = [x]
(C) [2x] = 2[x](D)
二、題：把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11. 雙曲線 的離心率為 .
12. 某幾何體的三視圖如圖所示, 則其表面積為 .
13. 觀察下列等式:
…
照此規律, 第n個等式可為 .
14. 在如圖所示的銳角三角形空地中, 欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分), 則其邊長x為 ().
15. (考生請注意:請在下列三題中任選一題作答, 如果多做, 則按所做的第一題計分)
A. (不等式選做題) 設a, b∈R, a－b>2, 則關于實數x的不等式 的解集是 .
B. (幾何證明選做題) 如圖, AB與CD相交于點E, 過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P. 已知 , PD = 2DA = 2, 則PE = .
C. (坐標系與參數方程選做題) 圓錐曲線 (t為參數)的焦點坐標是 .
三、解答題: 解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟（本大題共6小題，共75分）
16. (本小題滿分12分)
已知向量 , 設函數 .
(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.
(Ⅱ) 求f (x) 在 上的最大值和最小值.
17. (本小題滿分12分)
設Sn表示數列 的前n項和.
(Ⅰ) 若 為等差數列, 推導Sn的計算公式;
(Ⅱ) 若 , 且對所有正整數n, 有 . 判斷 是否為等比數列.
18. (本小題滿分12分)
如圖, 四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 證明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.
19. (本小題滿分12分)
有7位歌手(1至7號)參加一場歌唱比賽, 由500名大眾評委現場投票決定歌手名次, 根據年齡將大眾評委分為5組, 各組的人數如下:
組別ABCDE
人數5010015015050
(Ⅰ) 為了調查評委對7位歌手的支持狀況, 現用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委, 其中從B組中抽取了6人. 請將其余各組抽取的人數填入下表.
組別ABCDE
人數5010015015050
抽取人數6
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手, 現從這兩組被抽到的評委中分別任選1人, 求這2人都支持1號歌手的概率.
20. (本小題滿分13分)
已知動點(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍.
(Ⅰ) 求動點的軌跡C的方程;
(Ⅱ) 過點P(0,3)的直線與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線的斜率.
21. (本小題滿分14分)
已知函數 .
(Ⅰ) 求f(x)的反函數的圖象上圖象上點(1,0)處的切線方程;
(Ⅱ) 證明: 曲線y = f (x) 與曲線 有唯一公共點.
(Ⅲ) 設a<b, 比較 與 的大小, 并說明理由.
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