絕密★啟用前株洲市2014屆高三年級教學質量統一檢測（一）數學試題（理工醫農類）本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題）選擇題本大題共小題，每小題5分，共0分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．答案要寫在答題卷上為虛數單位，若復數的實部為1，則實數等于 （ ）A.-5 B.5 C.-1 D.2 2.下列有關命題正確的是（ ）A．“x=-1”是“-5x-6=0的必要不充分條件”B．命題“使得+x+1”的否定是：“均有 +x+1”C．命題“若x=y,則sinx=siny”的逆否命題為真命題D．已知p：>0，則：≤0的值為（ ） A．4B．5C．6D．74．設函數為定義在R上的奇函數，當時，（為常數），則 （ ）A．1 B．3C．D．5.已知點P（3,3），Q（3,-3），O為坐標原點，動點M（x, y）滿足，則點M所構成的平面區域的面積是 ( )A. 12B. 16　C. 32D. 646. 在同一坐標系中，離心率為的橢圓與離心率為的雙曲線有相同的焦點，橢圓與雙曲線的一個交點與兩焦點的連線互相垂直，則 ( ) (A)2 （B）3 （C） （D）7．已知函數，若且在區間上有最小值，無最大值則的值為（ ）A． B． C． D． 若實數、、、滿足則的最小值 為第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題本大題共小題，每小題5分，共35分．.9.過點且垂直于直線的直線方程為 10．已知M是△ABC內的一點，且?＝2，BAC＝30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面積分別為，x，y，則＋的最小值是11．12．由曲線，直線及y軸所圍成的圖形的面積為 13．的方程有四個不同的實數根，則的取值范圍是 14．圖像的對稱中心為，記函數的導函數為，的導函數為，則有．若函數，則 15．對于實數將滿足“且為整數”的實數稱為實數的小數部分用符號表示.已知無窮數列滿足如下條件:①;②.(Ⅰ)若時,數列通項公式為 (Ⅱ)當時,對任意都有,則的值為.三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。的最小正周期和最大值； （2）若函數在處取得最大值，求的值．17.(本小題滿分12分)如圖，已知斜三棱柱（側棱不垂直于底面）的側面與底面ABC垂直，，. (1) 設AC的中點為D，證明底面；() 求側面與底面ABC所成二面角的余弦值；前n項和為成等差數列.（I）求數列的通項公式；（II）數列滿足，求證：19.(本小題滿分13分)設某企業在兩個相互獨立的市場上出售同一種商品，兩個市場的需求函數分別是,,其中和分別表示該產品在兩個市場上的價格（單位：萬元/噸），和分別表示該產品在兩個市場上的銷售量（即需求量，單位：噸），并且該企業生產這種產品的總成本函數是，其中表示該產品在兩個市場的銷售總量，即（1）試和確定兩個市場上該產品的銷售量和價格，使該企業獲得最大利潤；（2）價格差別的條件下，推算該企業獲得的左右焦點分別為F1，F2，O為坐標原點，過點P（4，0）且不垂直于y軸的動直線與橢圓M相交于A、B兩點，過點A、O的直線與橢圓交于另一點C，（1）若，求AC的直線的方程；（2）求面積的最大值。21.(本小題滿分13分) 設函數.（1）求函數的單調區間 （2）若函數有兩個零點，，且，求證： 株洲市2014屆高三年級教學質量統一檢測（一）數學（理科）答案命題人：王開和（市教科院）趙銀生（市一中）陳瑜（市二中）向偉民（九方中學）審題人：王開和（市教科院）趙銀生（市一中）陳瑜（市二中）向偉民（九方中學）選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目的要求)題號12345678答案DCABCACC二、填空題（本大題共7小題，每小題5分，共35分）9、 ; 10、 18 ; 11、 ； 12、 ;13、； 14、-8050； 15、(1)；(2) 或三．解答題：本大題共6小題，共75分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 所以函數的最小正周期是,有最大值． .................6分（2）由（I）知：由，得， 所以．..12分17、 (1)證明： ∵，，∴∴三角形是等腰直角三角形，又D是斜邊AC的中點，∴∵平面⊥平面，∴A1D⊥底面 ……6分 (2)∵， ∴∴三角形是直角三角形，過B作AC的垂線BE，垂足為E，則，∴ ……8分以D為原點，所在的直線為軸，DC所在的直線為軸，平行于BE的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，則設平面的法向量為，則，即化簡得令，得，所以是平面的一個法向量.由（I）得A1D⊥面ABC，所以設平面ABC的一個法向量為設向量和所成角為，則 即側面A1 ABB1 與底面ABC所成二面角的余弦值為. ……12分18、(1)成等差數列,∴…………1分…………2分當,兩式相減得：…………4分所以數列是首項為，公比為2的等比數列，…………6分（2）…………8分=…………12分19、解（1）設利潤為那么利潤函數=Q1P1+Q2P2-C= Q1P1+Q2P2-[2(Q1+Q2)+5]=-2Q12-Q22+16Q1+10Q2-5...................................4分將利潤函數變形為M=-2(Q1-4)2-(Q2-5)2+52 ...................................5分 當Q1=4，Q2=5時即P1=10（萬元），P2=7（萬元）企業獲得最大利潤52萬元................6分（2）由M= -2(Q1-4)2-(Q2-5)2+52得52-M= 2(Q1-4)2 +(Q2-5)2 令，，得 由實際意義知Q1、P1、Q2、P2都為正數得 又得即 化簡得：..................................8分 圓的圓心（0,0）到的距離d= 所以，即 實際上取一位小數49.9(萬元) ..................................13分(利用直線與橢圓相切同樣可得分)20、解：（1）設C(x,y),則①..............3分又C點在橢圓上，有：②聯立①②解得 所以AC的直線的方程為..................6分（2）設直線的方程為：，，聯立直線與橢圓方程得： ................8分 弦長，又點O到直線的距離為所以=.............13分21、（1） ……2分當時，，函數在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為 …………………………4分當時，由，得；由，得所以函數的單調增區間為，單調減區間為 …………………6分（2）因為是函數的兩個零點，有則，兩式相減得即所以 ……………………………8分又因為，當時，；當時，故只要證即可，即證明 …………………10分即證明，即證明， ……………………………………12分設.令，則，因為，所以，當且僅當時，所以在是增函數；又因為，所以當時，總成立.所以原題得證. ……………………………………13分株洲市2014屆教學質量統一檢測（一）數學試題（理） 第4頁，共 6頁 湖南省株洲市2014屆高三教學質量統一檢測（一）數學（理）試題
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