（考試時間120分鐘，總分150分）命題：陳惠彬 審題：邱形貴第Ⅰ卷（選擇題 共50分）一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的．1．已知為虛數單位,則復( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的終邊在第二象限且經過點，則等于B．C．D．下列說法錯誤的是（　 �。〢．已知函數，則是函數 B．，的夾角為，則“”是“”的C．若命題,則 D．的三個內角、的對邊的長分別為、， 若 、、成等差數列 4.設向量,若,則等于B．C．D．3設是上的奇函數當時, 則等于? A. ?B. C. D.6.已知則向量的夾角為B．C．D．函數的部分圖像是8.設函數，以下關于的導函數說法正確的有（ ）①其圖像可由 向左平移 得到； ②其圖像關于直線對稱；③其圖像關于點對稱； ④在區間上是增函數．B．C．D．已知函數的圖象關于對稱,且當成立若,,則a,b,c的大小關系是（　 �。〢．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．將答案填在答題卡的相應位置．11．如圖，已知冪函數的圖象過點， 則圖中陰影部分的面積等于 . 12.已知函數則,則實數的值等于.13.在,且的面積為,則的長為.14．已知函數有三個不等實根則的取值范圍是 .15．若對意為關于x、y的二元函數.現定義滿足下列性質的二元函數為關于實數x、y的廣義“距離”(1)非負性:時取等號;(2)對稱性:;(3)三角形不等式:對任意的實數z均成立.今給出三個二元函數,請選出所有能夠成為關于x、y的廣義“距離”的序號:①;②;③能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數的序號是___________.已知函數的定義域為A，函數的值域為B.（I）求；（II）若，且，求實數的取值范圍.17．(本小題滿分13分)已知函數的圖像經過點.(Ⅰ)求函數的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.(Ⅰ)請將從甲地到乙地的運輸成本錯誤！未找到引用源。（元）表示為航行速度錯誤！未找到引用源。（海里/小時）的函數； (Ⅱ)要使從甲地到乙地的運輸成本最少，該貨輪應以多大的航行速度行駛？19．(本小題滿分13分)已知函數在區間上單調遞增在區間上單調遞減．中、、分別為內角對的邊，且滿足．（）證明：；（）是外一點，設，時，求四邊形面積的最大值．已知函數.(Ⅰ)求函數的x=1處的切線方程;(Ⅱ)求證:存在,使;(Ⅲ)對于函數與定義域內的任意實數x,若存在常數k,b,使得和都成立,則稱直線為函數與的分界線.試探究函數與是否存在“分界線”?若存在,請證明,并求出k,b的值;若不存在,請說明理由.（）（本小題滿分7分) 選修4―4：極坐標與參數方程在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為為參數，）．（Ⅰ）化曲線的極坐標方程為直角坐標方程；（Ⅱ）若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長．（）（本小題滿分7分) 選修4―5：不等式選講已知數滿足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式對一切數恒成立，求實數的取值范圍．已知為虛數單位,則復( D )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.若角的終邊在第二象限且經過點，則等于B．C．D．下列說法錯誤的是（　�。〢．已知函數，則是函數 B．，的夾角為，則“”是“”的C．若命題,則 D．的三個內角、的對邊的長分別為、， 若 、、成等差數列 4.設向量,若,則等于B．C．D．3設是上的奇函數當時, 則等于? A. ?B. C. D.6.已知則向量的夾角為B．C．D．函數的部分圖像是8.設函數，以下關于的導函數說法正確的有（B）①其圖像可由 向左平移 得到； ②其圖像關于直線對稱；③其圖像關于點對稱； ④在區間上是增函數．B．C．D．已知函數的圖象關于對稱,且當成立若,,則a,b,c的大小關系是（）A．B．C．D． A. 0B. 1C. 2D. 3第Ⅱ卷（非選擇題 共100分）二．填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分．將答案填在答題卡的相應位置．11．如圖，已知冪函數的圖象過點，則圖中陰影部分的面積等于 . 12.已知函數則,則實數的值等于-3或l.13.在,且的面積為,則的長為 .14．已知函數有三個不等實根則的取值范圍是 .15．若對意為關于x、y的二元函數.現定義滿足下列性質的二元函數為關于實數x、y的廣義“距離”(1)非負性:時取等號;(2)對稱性:;(3)三角形不等式:對任意的實數z均成立.今給出三個二元函數,請選出所有能夠成為關于x、y的廣義“距離”的序號:①;②;③能夠成為關于的x、y的廣義“距離”的函數的序號是____①________.已知函數的定義域為A，函數的值域為B.（I）求；（II）若，且，求實數的取值范圍.解：（Ⅰ）由題意得： ……………………………2分 ……………………………………………………4分 ……………………………………………………………分（II）由（1）知：，又（1）當時，,，滿足題意.……………………分（2）當即時，要使，則 …………分解得 ………………………………………………………分綜上， ………………………………………………分已知函數的圖像經過點.(Ⅰ)求函數的解析式及最大值；(Ⅱ)若，求的值.17. 解：（Ⅰ）， ∴ ，，…………………………3分 ∴ ，所以當，即時，取最大值. …6分 (Ⅱ) ，∴ ，……………………8分 ∵ ， ∴， ∴ ， ………………………………………10分 ∴ . ……………………………………………13分故當貨輪航行速度為0海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少．……………1分（）解法2：由（Ⅰ） 錯誤！未找到引用源�！�……8分 錯誤！未找到引用源。故當貨輪航行速度為0海里/小時時，能使該貨輪運輸成本最少． ……1分………………………………………………………4分…………………………………………………6分（2）因為，所以，所以為等邊三角形 …………………………8分,， 當且僅當即時取最大值,的最大值為………………13分20．(本小題滿分14分)已知函數.(Ⅰ)求函數的x=1處的切線方程;(Ⅱ)求證:存在,使;(Ⅲ)對于函數與定義域內的任意實數x,若存在常數k,b,使得和都成立,則稱直線為函數與的分界線.試探究函數與是否存在“分界線”?若存在,請證明,并求出k,b的值;若不存在,請說明理由.解:(Ⅰ)x=1時，切點坐標為（1，-2），切線斜率為，∴此時切線方程為： ……………………………………………3分(Ⅱ)由(Ⅰ) 令解得 令解得. 知在(0,1)內單調遞增,在上單調遞減,令 ∴ 取則 故存在使即存在使 ………………分(說明:的取法不唯一,只要滿足且即可)(Ⅱ)設則則當時,,函數單調遞減;當時,,函數單調遞增.∴是函數的極小值點,也是最小值點, ∴∴函數與的圖象在處有公共點(). ………………………分設與存在“分界線”且方程為,令函數①由≥,得在上恒成立,即在上恒成立,∴, 即, ∴,故………………………………………………………………………………………………11分②下面說明:, 即恒成立.設則∵當時,,函數單調遞增,當時,,函數單調遞減,∴當時,取得最大值0,.∴成立.綜合①②知且故函數與存在“分界線”, 此時 ……分（）（本小題滿分7分) 選修4―4：極坐標與參數方程在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為為參數，）．（Ⅰ）化曲線的極坐標方程為直角坐標方程；（Ⅱ）若直線經過點，求直線被曲線截得的線段的長．解法一：（Ⅰ）由得，，即曲線的直角坐標方程為． ………………………………3分（Ⅱ）由直線經過點，得直線的直角坐標方程是，聯立，消去，得，又點是拋物線的焦點，由拋物線定義，得弦長． ……………………7分解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分（Ⅱ）由直線經過點，得，直線的參數方程為將直線的參數方程代入，得，所以． …………………7分（）（本小題滿分7分) 選修4―5：不等式選講已知數滿足．（Ⅰ）求的；（Ⅱ）若不等式對一切數恒成立，求實數的取值范圍．（Ⅰ）由柯西不等式，即，當且僅當即，時，取得最大值3………………分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式對一切數恒成立，當且僅當成立，即或解得，或，所以實數的取值范圍是． …………………………分第19題圖福建省泉州市某重點中學2014屆高三上學期期中考試數學（理）試題
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