吉林市普通中學2015—2014學年度高中畢業班下學期期中教學質量檢測數學（理科）本試卷分第Ⅰ卷選擇題和第Ⅱ卷非選擇題兩部分，共24小題，共150分，考試時間120分鐘1．答前，考生將自己的、填寫使用0.5毫米的黑色請按照題號在各題的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效一、選擇題：本大題共12題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1. 已知集合，，，則A．0或3B．0或C．1或D．1或32．為虛數單位，若復數 A．B．C．D．3．在定義域內既是奇函數又為增函數的是A. B. C.D.4．為兩個平面，為直線．是∥的 A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．若雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線離心率A．B．3C．D．．二項式的展開式中，項的系數為A． B．C．D．7．已知，則A．B．C．D．8．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出的S的值是A．－3B．－ C． D． 29．已知隨機變量服從正態分布，，則A．0.954B．0.977C．0.488 D．0.477．某由圓柱切割獲得的幾何體的三視圖如圖所示其中俯視圖是中心角為的扇形,則該幾何體的為A．B．C．D． 11．若函數在點處的切線平行于函數在點處的切線，直線的斜率A．1B．C． D．12．在中，分別為內角所對的邊，，且滿足．若點是外一點，,，平面四邊形面積的最大值是A．B．C．3 D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4個小題每小題5分。13．已知實數滿足，則目標函數的最大值為14．，則　　　　　.15．已知點為拋物線的焦點，為原點，點是拋物線準線上一動點，在拋物線上，且＝則＋的最小值是16．如圖，在正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點，設向量＝λ＋μ，則λ＋μ的最小值為三、解答題：本大題共6小題共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（本小題滿分12分）已知數列首項為，．設 ，數列滿足．求證：數列成等差數列；求數列的前項和．18．（本小題滿分12分） “開門大吉”是某電視臺推出的游戲益智節目．選手面對1-號扇大門，依次按響門上的門鈴，門鈴會播放一段音樂(將一首經典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹)，選手需正確回答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對應的家庭夢想基金．回答每一扇門后，選手可自由選擇帶著獎金離開比賽，還繼續挑戰后面的門以獲得更多獎金．但是一旦回答錯誤，獎金將清零，選手也會離開比賽．在一次場外調查中，發現參加比賽的選手多數分為兩個年齡段：~30；~40（單位：歲），其猜對歌曲名稱人數如圖所示．每扇門對應的夢想基金：（單位：元） （Ⅰ）寫出列聯表；判斷是否有9%的把握認為猜對與年齡有關？說明你的理由．（下面的臨界值表供參考）P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828，正確回 答一個問題后，選擇繼續回答下一個問題的概率是，且各個問題回答正確與否互 不影響．設該選手所獲夢想基金總數為，求的分布列及數學期望． 其中）19．（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，，是棱上的一點，是的延長線與的延長線的交點，且∥平面．求證：；求二面角的平面角的弦值．20．（本小題滿分12分）的右焦點為，離心率，是橢圓上的動點．；若與的斜率乘積，動點滿足, 為常數。問是否存在兩個定點,，使得為定值？若存在，求,的坐標，若不存在，說明理由．（本小題滿分12分）函數，.（為常數，為自然對數的底）當時，求的單調區間；若函數在上無零點，求的最小值；（）若對任意給定的，在上總存在兩個不同的，使得成立，求的取值范圍． 如圖，是⊙的一條切線，切點為，都是⊙的割線，已知. 證明：；（Ⅱ）證明：.在極坐標系中，已知圓的圓心，半徑 ．（Ⅰ）求圓的極坐標方程；（Ⅱ）若，直線的參數方程為（為參數），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍．已知函數，且的解集為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求證：．2015—2015學年度高中畢業班下學期期中教學質量檢測數學（理科）答案及評分標準1．選擇題123456789101112ADCDCACBACCA2．填空題13. 【答案】5 14. 【答案】 15. 【答案】 16. 【答案】解：由已知可得，，……………2分 ……………3分 ……………4分為等差數列，其中. ……………分 ……………6分 ① ……………7分 ② …………8分 ① - ② 得 …………9分 ……………10分 ……………11分∴ ……………12分：（Ⅰ）根據所給的二維條形圖得到列聯表，錯誤合計）10304030~40（歲）107080合計200120……………2分 根據列聯表所給的數據代入觀測值的公式得到k2==3∵……………3分∴有9%的把握認為猜對歌曲名稱與否與年齡有關．……………4分 的所有能取值分別為：0，1000，3000，6000，11000則 ……………5分 ……………6分 ……………7分 ……………8分 ……………9分的分布列為010003000600011000……………10分數學期望 ……………12分 19. 解：（Ⅰ）連接交于∵∥平面，面，面面……………2分∴∥又為的中點，∴為中點∴為中點……………3分∴∴；……………分 ∵在直三棱柱中 ∴ ……………5分以為坐標原點，以, 所在建立空間直角坐標系如圖所示。由（Ⅰ）知為中點∴點坐標分別為，， ……………6分 的法向量∵且∴取∴ ……………8分的法向量 ……………10分 平面角為則， ……………11分∴ ……………12分 （I）∴ ……………2分，∴，……………3分∴橢圓標準方程為（分）（II）設P(x，y)，(x1，y1)，(x2，y2)，則由得(x，y)＝(x1，y1)＋ (x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)， ……………5分即x＝x1＋x2，y＝y1＋y2. （分）因為點A、B在橢圓x2＋2y2＝2上，所以x＋2y＝2，x＋2y＝2，（分）故x2＋2y2＝(x＋x＋2x1x2)＋2(y＋y＋2y1y2)＝(x＋2y)＋ (x＋2y)＋2 (x1x2＋2y1y2)＝2＋2+2 (x1x2＋2y1y2)．（分）設kOA，kOB分別為直線OA，OB的斜率，由題設條件知kOA?kOB＝＝－，因此x1x2＋2y1y2＝0，(9分)所以x2＋2y2＝2＋2. 即(10分)所以P點是橢圓上的點，設該橢圓的左、右焦點為F1，F2，則由橢圓的定義PF1＋PF2為定值．(11分)又因c＝因此兩焦點的坐標為F1(－，0)，F2(，0)．F1(－，0)，F2(，0)．PF1＋PF2（分）當時則.令得；令得故的單調遞減區間為，單調遞增區間為 ……………2分 （）∵在區間上不可能恒成立，故要使函數在上無零點，恒成立。即對，恒成立�！�…3分（）則 …4分，則，∵，∴故函數在區間上單調遞減，∴ 即，∴函數在區間上單調遞增，∴ …5分函數在上無零點 …6分（）∵，當，，∴函數在區間上是增函數。∴…7分當時，，不符題意當時，當時，，由題意有在上不單調，故∴①…8分當變化時，變化情況如下：0+單調遞減最小值單調遞增又因為時，…9分所以，對于給定的，在在上總存在兩個不同的，使得成立，當且僅當滿足下列條件即②③…10分令，令，則故時，，函數單調遞增時，，函數單調遞減所以對任意的，…11分由③得④，由①④當時，在上總存在兩個不同的，使得成立……………12分 證明：∵是⊙O的一條切線，為割線， …分∴，…3分又∵，…4分∴；…（分）（Ⅱ）由有，…6分∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE， …7分∴∠ADC=∠ACE， …8分∵∠ADC=∠EGF，∴∠EGF=∠ACE， …9分∴GF∥AC�！�（分） 【答案】① ;②解：（Ⅰ）設圓上任意一點坐標，由余弦定理得：…3分整理得：…（分）（Ⅱ）∵，∴…6分將直線的參數方程代入到圓的直角坐標方程中得：…7分整理得：…8分∴∴ …9分∵，∴，∴ …（分） 解：（Ⅰ）因為等價于，…分由有解，得，且其解集為．…4分又的解集為，故．…（分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，又，…分∴≥=9． …分∴…．（1分）版權所有：學優(www..cn)版權所有：學優(www..cn)zPDCABxyEO_AGFDCBPDCAB錯誤正確吉林省吉林市2015屆高三下學期第二次模擬考試 數學理
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