湖北五校聯盟2013屆高三上學期調研考試數學（理）試題

一．（共12小題，每小題5分，計60分。在每小題給出的四個選項中，只有一個選項正確）
1. 若集 合 =（ ）
A. B. C. D.
2.復數 ，則 在復平面上對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．執行如圖所示的程序框圖，若輸入x=3，則輸出y的值為（ ）
A.5 B.9 C.17 D.33
4.袋中有6個小球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，甲乙兩人玩游戲，先由甲從袋中任意摸出一個小球，記下號碼 后放回袋中，再由乙摸出一個小球，記下號碼 ，若 就稱 甲乙兩人“有默契”，則甲乙兩人“有默契”的概率為（ ）
A． B． C． D．
5.如圖，一個簡單幾何體的三視圖其主視圖與俯視圖分別是邊長2的正三角形和正方形，則其體積是（ ）
A. B. C. D.
6．已知 ，命題 ，則( )
A． 是假命題; B． 是假命題;
C． 是真命題; D. 是真命題;
7.在 中， （ ）
A.10 B. -10 C.-4 D.4
8.等軸雙曲線 的中心在原點，焦點在 軸上， 與拋物線 的準線交于 兩點， ,則 的虛軸為（ ）
A. B. C.4 D.8
9.已知公比不為1的等比數列 的首項為1，若 成等差數列，則數列 的前5項和為( )
A. 12181 B. 3116 C. 121 D. 31
10. 點A、B、C、D均在同一球面上，其中 是正三角形， ，
,則該球的體積為（ ）
A． B． C． D．
11. 求形如 的函數的導數，我們常采用以下做法：先兩邊同取自然對數得： ,再兩邊同時求導得 ，于是得到： ，運用此方法求得函數 的一個單調遞增區間是( )
A．(e,4) B．(3,6) C．(0,e) D．(2,3)
12． 是雙曲線 的左焦點, 是拋物線 上一點,直線 與 圓 相切于點 ，且 ，若雙曲線的焦距為 ,則雙曲線的實軸長為( )
A.4B.2C. D.
二．題（共4小題，每小題5分，計20分）
13． 的展開式中 的系數等于
14.將6位志愿者分成4組，其中有2個組各2人，另兩個組各1人，分赴2012年倫敦奧運會的四個不同場館服務，不同的分配方案有 種.（用數字作答）
15. 設實數 滿足約束條件 ，若目標函數 的最大值為8，則 的最小值為
16. 已知 ,數列 的前n項和為 ，數列 的通項公式為 ,則 的最小值為
三. 解答題（本大題共6小題，共70分；解答寫出字說明、 證明過程或演算步驟）
17.（本小題滿分12分）已知 ，且
（1）求 的最小正周期及單調遞增區間.
（2）在△ABC中，a,b,c,分別是A ,B,C的對邊，若 成立 ，求 的取值范圍.

18. （本小題滿分12分）在四棱錐 中， 底面 ， ,
.(1)求證：面 ⊥面 ；（2）求二面角 的余弦值.

19. （本小題滿分12分）某校高二年級共有學生1000名,
其中走讀生750名, 住宿生250名,現從該年級采用
分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調
查.根據問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時
間(單位:分鐘)的數據,按照以下區間分為八組
①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),
⑤[120,150),⑥[150,180),⑦ [180,210),⑧[210,240),
得到頻率分布直方圖如下.已知抽取的學生中每天晚上
有效學習時間少于60分鐘的人數為5人；
（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，下列2×2列聯表：

是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關？
參考公式：
參考列表：

(3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數為X，求X的分布列及期望；

20. （本小題滿分12分）已知橢圓 的左、右焦點分別為 ，其中 也是拋物線 的焦點 ，點 為 與 在第一象限的交點，且 .（1） 求 的方程；（2）平面上的點 滿足 ，直線 ，且與 交于 兩點，若 ，求直線 的方程.

21.（本小題滿分12分）已知函數 .（1） 討論函數 的單調性；（2）當 時， 恒成立，求實數 的取值范圍；（3）證明： .

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖，A，B，C，D四點在同一個圓上，BC與AD的延長線交于點E，
點F在BA的延長線上。（1）若 ,則 ；
23.選修4—4：坐標系與參數方程。在平面直角坐標系中，曲線 的參數方
程為 ，以 為極點， 軸的正半軸為極軸
建立極坐標系，曲線 是圓心在極軸上且經過極點的圓，已知曲線 上的點 對應的參數 射線 與曲線 交于點 .（1）曲線 的方程為 .
24.選修 4- 5 ：不等式選講 已知函數 .（1）若 恒成立，則 的取值范圍為 .

高三年級數學答案（理科）


設 ，所以
因為 ，所以 ，


故 ……………………9分
（3）由（2）知當 時，有 ，當 時， 即 ，
令 ，則 ，即 …10分

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