(總分160分，考試時間120分鐘)
一、題：本大題共14小題，每小題5分，計70分.不需寫出解答過程，請把答案寫在答題紙的指定位置上.
1.已知全集 ,集合 , ,則 = ▲ .
2.已知復數 的實部為 ,虛部為 ,則 ( 為虛數單位)的模為 ▲ .
3.某學校為了解該校1200名男生的百米成績（單位：秒），隨機選擇了50名學生進行調查.下圖是這50名學生百米成績的頻率分布直方圖.根據樣本 的頻率分布,估計這1200名學生中成績在 （單位：秒）內的人數大約是 ▲ .
4.已知 張卡 片（大小,形狀都相同）上分別寫有 , , , ,從中任取兩張,則這兩張卡片中最大號碼是3的概率
為 ▲ .
5.按如圖所示的流程圖運算,則輸出的 ▲ .
6.已知向量 ,
若 ,則實數 = ▲ .
7.已知數列 成等差數列,其前 項和為 ,若
,則 的余弦值為 ▲ .
8.設 為兩個不重合的平面， 為兩條不重合的直線，
現給出下列四個命題：
①若 ,則 ；
②若 ，則 ；
③若 則 ；
④若 則 .
其中,所有真命題的序號是 ▲ .
9.已知函數 , 滿足 , , , ,則函數 的圖象在 處的切線方程為 ▲ .
10.在 中, , ,則 的面積為 ▲ .
11.已知橢圓 和圓 ,若 上存在點 ,使得過點 引圓 的兩條切線,切點分別為 ,滿足 ,則橢圓 的離心率的取值范圍是 ▲ .
12.設 ,其中 為過點 的直線 的傾斜角,若當 最大時,直線 恰好與圓 相切,則 ▲ .
13.已知函數 恰有兩個不同的零點,則實數 的取值范圍是
▲ .
14.已知對于任意的實數 ,恒有“當 時,都存在 滿足方程 ”,則實數 的取值構成的集合為 ▲ .

二、解答題：本大題共6小題，計90分.解答應寫出必要的字說明，證明過程或演算步驟，請把答案寫在答題紙的指定區域內.
15．(本小題滿分14分)
已知角 、 、 是 的內角， 分別是其 對邊長，向量 ， ， .
(1)求角 的大小；
(2)若 ,求 的長.

16．(本小題滿分14分)
如圖，在四面體 中, , 是 的中點．
(1)求證: 平面 ；
(2)設 為 的重心, 是線段 上一點,且 .
求證: 平面 .

17．(本小題滿分14分)
如圖,有三個生活小區(均可看成點)分別位于 三點處, , 到線段 的距離 , (參考數據: ). 今計劃建一個生活垃圾中轉站 ,為方便運輸, 準備建在線段 (不含端點)上.
(1)設 ,試將 到三個小區距離的最遠者 表示
為 的函數,并求 的最小值；
(2)設 ,試將 到三個小區的距離之和 表
示為 的函數,并確定當 取何值時,可使 最小?

18．(本小題滿分16分)
如圖, 是橢圓 的左、右頂點,橢圓 的離心率為 ,右準線 的方程為 .
(1)求橢圓方程；
(2)設 是橢圓 上異于 的一點,直線 交 于點 ,以 為直徑的圓記為 .
①若 恰好是橢圓 的上頂點,求 截直線 所得的弦長;
②設 與直線 交于點 ,試證明:直線 與 軸的交點 為定點,并求該定點的坐標.
19．(本小題滿分16分)
已知數列 是等差數列,數列 是等比數列,且對任意的 ,都有 .
(1)若 的首項為4, 公比為2,求數列 的前 項和 ;
(2)若 .
①求數列 與 的通項公式;
②試探究:數列 中是否存在某一項,它可以表示為該數列中其它 項的和？若存在,請求出該項；若不存在,請說明理由．

20．(本小題滿分16分)
已知函數 ,其中 .
(1)當 時,求函數 在 處的切線方程;
(2)若函數 在區間(1,2)上不是單調函數,試求 的取值范圍;
(3)已知 ,如果存在 ,使得函數 在 處取得最小值,試求 的最大值.

高三年級學情調研考試
數學附加試題
(總分40分，考試時間30分鐘)
21．[選做題] 在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
A.（選修4—1：幾何證明選講）
在直角三角形 中, 是 邊上的高, , , 分別為垂足,求證： .

B．（選修4—2：矩陣與變換）
已知曲線 ,現將曲線 繞坐標原點逆時針旋轉 ,求所得曲線 的方程.

C．（選修4—4：坐標系與參 數方程）
在極坐標系中,已知圓 的圓心坐標為 ,半徑為 ,試寫出圓 的極坐標方程.

D.（選修4—5：不等式選講）
已知 為正數，求證： .

[必做題] 第22、23題,每小題10分,計20分.請把答案寫在答題紙的指定區域內.
22.如圖,在四棱錐 中, ⊥底面 ,底面 為梯形, , ,
,點 在棱 上,且 ．
(1)求證：平面 ⊥平面 ；
(2)求平面 和平面 所成銳二面角的余弦值．

23.已知數列 滿足 ,試證明:
(1)當 時,有 ；
(2) .

2013屆高三年級學情調研考試
數學參考答案

又 ， ,則由正弦定理,得 = ,即 4 …………………………14分
16．證明:(1)由 ………………………………………………………………… 3分
同理， ,又∵ , 平面 ,∴ 平面 ………………7分
(2)連接AG并延長交CD于點O,連接EO.因為G為 的重心,所以 ,
又 ,所以 …………………………………………………………………………11分
又 , ,所以 平面 ……………………………………………11分
因為 ,令 ,即 ,從而 ,
當 時, ;當 時, .
………………… 6分
又直線 的方程為 ,故圓心到直線 的距離為 ……………………8分
從而 截直線 所得的弦長為 ………………………………………10分
②證:設 ,則直線 的方程為 ,則點P的坐標為 ,
又直線 的斜率為 ,而 ,所以 ,
從而直線 的方程為 …………………………………………………13分
令 ,得點R的橫坐標為 …………………………………………………………14分
又點 在橢圓上,所以 ,即 ,故 ,
所以直線 與 軸的交點 為定點,且 該定點的坐標為 …………………………………16分
19.解: (1)因為 ,所以當 時, ,兩式相減,得 ,
而當 時, ,適合上式,從而 …………………………………3分
又因為 是首項為4,公比為2的等比數列,即 ,所以 …………………………4分
從而數列 的前 項和 …………………6分
(2)①設 ,則 ,所以 ,
設 的公比為 ,則 對任意的 恒成立 ……………………8分
即 對任意的 恒成立,
又 ,故 ,且 …………………………………………………………………10分
從而 …………………………………………………………………………………11分
②假設數列 中第k項可以表示為該數列中其它 項
的和,即 ,從而 ,易知 (*)…………………13分
又 ,
所以 ,此與(*)矛盾,從而這樣的項不存在……………………………………………………16分
20．解:(1)當 時, ,則 ,故 ……………………2分
又切點為 ,故所求切線方程為 ,即 …………………………………4分
(2)由題意知, 在區間(1,2)上有不重復的零點,
由 ,得 ,因為 ,所以 ……………7分
令 ,則 ,故 在區間(1,2)上是增函數,
所以其值域為 ,從而 的取值范圍是 ………………………………………………9分
(3) ,
由題意知 對 恒成立,即 對 恒成立,即 ①對 恒成立 ……………………………11分
當 時,①式顯然成立;
當 時,①式可化為 ②,
令 ,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 ……………13分
即 ,其等價于 ③ ,
因為③在 時有解,所以 ,解得 ,
從而 的最大值為 ………………………………………………………………………………16分
附加題
21．（A）證明： 為直角三角形, ,
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ……………………………………………4分
, , , ,
……………………………………………………………………………………………10 分
B．解：（1）由旋轉坐標公式 ………………………………………………………5分
得變換公式為 ，代入得曲線 的方程為 …………………………10分
C ．解：設 是圓 上任一點,由余弦定理,得 ………………………5分
整理得圓 的極坐標方程為 …………………………………………………………10分
D.證明： , ………………………………………………………5分
同理, , ,三式相加，得 ………………………10分
23．證明：(1) 當 時, ,
所以不等式成立…………………………………………………………………………………………5分
(2)

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