北京市朝陽區2015～2014學年度高三年級第一學期期中統一考試 數學試卷（文史類） 2015．．，．若，則實數的值是 A． B． C．或 D．或或2．命題：對任意，的否定是A．：存在, B．：存在, C．：不存在, D．：對任意，3．執行如圖的程序框圖，則輸出的值等于 A．91 B． 55 C．54 D．304．已知為第二象限角，且，則的值是A． B. C. D. 5．函數是A．奇函數且在上是減函數 B．奇函數且在上是增函數 C．偶函數且在上是減函數 D．偶函數且在上是增函數6．已知平面向量，，，則下列說法中錯誤的是A．∥ B． C．對同一平面內的任意向量，都存在一對實數，使得 D．向量與向量的夾角為 7．若，則A．B．C．D．8．同時滿足以下四個條件的集合記作：（1）所有元素都是正整數；（2）最小元素為1；（3）最大元素為2014；（4）各個元素可以從小到大排成一個公差為的等差數列．那么中元素的個數是A．B．C．D．中，已知，，則公比的值是 ．10．已知平面向量滿足，，，則= .11．函數的最小值是 ．12．在△中，角所對的邊分別為，且， ；若,則 ． 13．函數的值域是 ． 14．已知函數（），數列滿足，，.則與中，較大的是 ；的大小關系是 ．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15．（本小題滿分13分）已知函數．（Ⅰ）求函數的最小正周期及最小值；（Ⅱ）若為銳角，且，求的值．16．（本小題滿分13分）在△中，角所對的邊分別為，若，．（Ⅰ）求△的面積；（Ⅱ）若，求的值． 17．（本小題滿分13分）已知數列，的通項，滿足關系，且數列的前項和．（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）求數列的前項和．18．（本小題滿分14分） 已知函數.（Ⅰ）若函數在上求；在上，求的值．19．（本小題滿分14分）已知函數．（Ⅰ）函數的單調； （Ⅱ）為函數的圖象上任意一點，在點處的切線的斜率恒大于，求的取值范圍．20．（本小題滿分13分）如果項數均為的兩個數列滿足且集合，則稱數列是一對 “項相關數列”．（Ⅰ）設是一對“4項相關數列”，求和的值，并寫出一對“項相關數列” ；（Ⅱ）是否存在 “項相關數列” ？若存在，試寫出一對；若不存在，請說明理由；（Ⅲ）對于確定的，若存在 “項相關數列”，試證明符合條件的 “項相關數列”有偶數對．北京市朝陽區2015-2016學年度高三年級第一學期期中統一考試 數學試卷答案（文史類） 2015．題號12345678答案CABDBCAB二、填空題：題號91011121314答案（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答題：15. 解：． （Ⅰ）函數的最小正周期為， 函數的最小值為． ┅┅┅┅┅┅ 7分（Ⅱ）由得． 所以． 又因為，所以， 所以． 所以． ┅┅┅┅┅┅ 13分16. 解：（Ⅰ）因為，所以. 又因為，所以. 因為，所以. ┅┅┅┅┅┅ 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知.又因為，，所以.所以. ┅┅┅┅┅┅ 13分17. 解：（Ⅰ）當時，；當時，.驗證，所以. ┅┅┅┅ 6分（Ⅱ）由，得 .因為,所以數列是以為首項，為公比的等比數列. . ┅┅┅┅┅┅ 13分18.解：在上至少有一個實數根.所以，解得. ┅┅┅┅┅┅ 5分（Ⅱ）函數圖象的對稱軸是① 當，即時，.解得或.又,所以.② 當，即時，解得.又,所以.綜上，或. ┅┅┅┅┅┅ 14分19.解：（Ⅰ） 的定義域為，①當時，令，解得，所以函數在上是增函數； ②當時,令，解得或，所以函數在和上是增函數；③當時,在上恒成立，所以函數在是增函數；④當時,令，解得或，所以函數在和上是增函數.綜上所述，①當時，函數的單調遞增區間是；②當時，函數的單調遞增區間是和；③當時，函數的單調遞增區間是；④當時，函數的單調遞增區間是和. ┅┅┅┅┅┅7分（Ⅱ）在點處的切線的斜率大于，所以當時，恒成立.即當時，恒成立.方法1：設，函數的對稱軸方程為.（?）當時，在時恒成立.(?) 當時，即時，在時，函數成立，則方程 的判別式，解得.(?)當時，即時，在上為增函數，的取值范圍是，則在時，函數不恒成立.綜上所述，時，在函數的圖象上任意一點處的切線的斜率恒大于. 方法2：由在時恒成立，得時，.（?）當時，恒成立；（?）當時，上式等價于，，由于此時為減函數，的取值范圍是，只需；（?）當時，上式等價于，設，則 ，當時，（當且僅當時等號成立）.則此時.則在上，當時，在函數的圖象上任意一點處的切線的斜率恒大于. ┅┅┅┅┅ 14分20．，相加得，，又，則，.“4項相關數列”：8，4，6，5；：7，2，3，1（不唯一） ┅┅┅ 4分參考：（“4項相關數列”共6對： ：8，5，4，6；：7，3，1，2或：7，3，5，8；：6，1，2，4或：3，8，7，5；：2，6，4，1或：2，7，6，8；：1，5，3，4或：2，6，8，7；：1，4，5，3 或：8，4，6，5；：7，2，3，1 （Ⅱ）不存在．理由如下：假設存在 “10項相關數列”，則，相加得．又由已知，所以 ，顯然不可能，所以假設不成立．從而不存在 “10項相關數列”． ┅┅┅┅┅┅ 8分（Ⅲ）對于確定的，任取一對 “項相關數列”，令，，（先證也必為 “項相關數列”）因為又因為，很顯然有，所以也必為 “項相關數列”．（再證數列與是不同的數列）假設與相同，則的第二項，又，則，即，顯然矛盾．從而，符合條件的 “項相關數列”有偶數對． ┅┅┅┅┅┅ 13分T=T+i2否i=i+1是i>5?結束縛T=0,i=1開 始輸出T北京市朝陽區2015屆高三上學期期中考試數學（文）試題及答案
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