吳川四中2013屆高三8月摸底考試
數 學 (科）
參考公式：
錐體的體積公式： （ 是錐體的底面積， 是錐體的高）
球體體積公式： ( 是半徑)
一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，滿分50分.每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.）
1. 設集合 , ,則 （ ）
A． B． C． D．
2．復平面上點P表示復數 （其中i為虛數單位），點P坐標是
A.（1，0） B.（一1，0） C.（0，一1） D.（0，1）
3.命題“ ”的否定為（ ）
A. B.
C. D.
4．若 ，則“ ＝3”是“ 2＝9”的（ �。l件
A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
5、下列函數為偶函數的是（ �。�
A． B． C． D．
6、若方程 在 內有解，則 的圖象是（ ）
7．閱讀右圖所示的程序框圖，運行相應的程序，
輸出的結果是（ �。�
A． B．13
C．33 D．123
9.設圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ）
A． B．
C． D．
10．若實數 滿足 ，則稱 是函數 的一個次不動點．設函數 與函數 （其中 為自然對數的底數）的所有次不動點之和為 ，則
A． B． C． D．
二、填空題（本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分.）
（一）必做題（第11至13題為必做題，每道試題考生都必須作答。）
11．已知向量a = (1,—1),b = (2,x).若a •b = 1,則x =＿＿＿
12．設函數 ,則 ＿＿＿
13．目標函數z＝2x＋y在約束條件 下取得的最大值是＿＿＿＿＿
（二）選做題（14 ～15題，考生只能從中選做一題；兩道題都做的，只記第14題的分。）
14.（坐標系與參數方程選做題）已知圓 的極坐標方程為 ，則圓 上點到直線 的最短距離為 。
15. (幾何證明選講選做題)如圖3，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，
若 PA=5，AB=7，CD=11， ，則BD等于 .
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16.（本小題滿分12分）
已知等差數列 中， ， ．
（1）求數列 的通項公式；
（2）若數列 的前 項和 ，求 的值．
17．（本小題滿分12分）
已知函數f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R的最大值是1，其圖像經過點 .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，求 的值．
18.（本小題滿分14分）
在三棱錐 中， 和 是邊長為 的等邊三角形， ， 分別是
的中點．
（Ⅰ）求證： ∥平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 ⊥平面 ；
（Ⅲ）求三棱錐 的體積．
19．(本題滿分14分)
2012年春節前，有超過20萬名廣西、四川等省籍的外務工人員選擇駕乘摩托車沿321國道長途跋涉返鄉過年.為防止摩托車駕駛人員因長途疲勞駕駛，手腳僵硬影響駕駛操作而引發交事故，肇慶市公安交警部門在321國道沿線設立了多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站，讓過往返鄉過年的摩托車駕駛人員有一個停車休息的場所. 交警小李在某休息站連續5天對進站休息的駕駛人員每隔50輛摩托車，就進行省籍詢問一次，詢問結果如圖4所示：
（1）問交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的是什么抽樣方法？
（2）用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛人員進行抽樣，
若廣西籍的有5名，則四川籍的應抽取幾名？
（3）在上述抽出的駕駛人員中任取2名，求至少有1名駕駛
人 員是廣西籍的概率.
20．（本小題滿分14分）
設 ，其中
（Ⅰ）當 時，求 的極值點；
（Ⅱ）若 為R上的單調函數，求a的取值范圍。
21．（本題滿分14分）
已知函數 ，且其導函數 的圖像過原點.
(1)當 時，求函數 的圖像在 處的切線方程;
(2)若存在 ，使得 ，求 的最大值；
(3)當 時，求函數 的零點個數。
參考答案與評分標準
一.選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）
1、A 2、C 3、C 4、A 5、D 6、D 7、B 8、C 9、D 10、B
二.填空題（本大題每小題5分，共20分，把答案填在題后的橫線上）
11、1 12、 13、6 14. .； 15. 6
15.【解析】由 得 又
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出字說明、證明過程和演算步驟.
16．（本小題滿分12分）
解：（1）設等差數列 的公差 ，則 ，
由題設， ，所以 ．
． …………………………… 6分
（2）因為 ，
所以 ，解得 或 ．
因為 ，所以 ． …………………………… 12分
17．解：（1）依題意有 ，則 ，將點 代入得 ，而 ， ， ，故 ；………5分
（2）由已知得 ， ．
則 ． ………8分
． ………12分
18. （本小題滿分 分）
（Ⅰ） 分別為 的中點，
∥
又 平面 ， 平面
∥平面 . ………………5分
（Ⅱ）連結 ，
， 為 中點， ,
⊥ ， .
同理, ⊥ ， .
又 , ,
， ⊥ .
⊥ , ⊥ , ,
⊥平面 .
又 平面 ， 平面 ⊥平面 . ……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知 垂直平面
為三棱錐 的高，且
. …………………………14分
19．(本題滿分14分)
解：解：（1）交警小李對進站休息的駕駛人員的省籍詢問采用的是系統抽樣方法.（3分）
（2）從圖中可知，被詢問了省籍的駕駛人員廣西籍的有: 人，（4分）
四川籍的有： 人，（5分）
設四川籍的駕駛人員應抽取 名，依題意得 ，（6分）
解得 ，即四川籍的應抽取2名. （7分）
（3）（方法1）用 表示被抽取的廣西籍駕駛人員， 表示被抽取的四川籍駕駛人員，則所有基本事件的總數為： ， ， ，
， 共21個，（10分）
其中至少有1名駕駛人員是廣西籍的基本事件的總數為：
，
， ，
， 共20個.（12分）
所以，至少有1名駕駛人員是廣西籍的概率為 （14分）
（方法2）所有基本事件的總數同方法1，
其中，2名駕駛人員都是四川籍的基本事件為： ，1個.（12分）
所以，抽取的2名駕駛人員都是四川籍的概率為 （11分）
所以，至少有1名駕駛人員是廣西籍的概率為 （14分）
20．解：對 求導得 ①……………2分
（Ⅰ）當 時，若
解得 ……………4分
綜合①,可知
+0－0+
?極大值?極小值?
所以, 是極小值點, 是極大值點. ……………8分
（II）若 為R上的單調函數，則 在R上不變號，
結合①與條件a>0，知 在R上恒成立，……………10分
因此 由此并結合 ，知 。
所以a的取值范圍為 ……………14分
21．解: ,
由 得 , . ---------------------2分
(1) 當 時, , ， ,
所以函數 的圖像在 處的切線方程為 ,即 ------------4分
(2) 存在 ,使得 ,
， ，
當且僅當 時， 所以 的最大值為 . --------------- -----------------9分
f(x) 單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增
(3) 當 時， 的變化情況如下表：
----11分
的極大值 ，
的極小值
又 ， .
所以函數 在區間 內各有一個零點，
故函數 共有三個零點。--------------------14分
注：①證明 的極小值 也可這樣進行:
設 ，
則
當 時, ,當 時, ,
函數 在區間 上是增函數,在區間 上是減函數,
故函數 在區間 上的最大值為 ,
從而 的極小值 .
②證明函數 共有三個零點。也可這樣進行: 的極大值 ，
的極小值 ,
當 無限減小時， 無限趨于 當 無限增大時， 無限趨于
故函數 在區間 內各有一個零點，故函數 共有三個零點。
本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/36660.html
相關閱讀：高考數學幾何證明選講復習課件和檢測題
內蒙古包頭一中2014屆高三下學期寒假補課檢測數學（理）試題 含
江西省宜春市上高二中2015屆高三下學期周考（一）數學（文）試題
高三數學寒假作業試題
精品解析：北京市海淀區2015屆高三上學期期中考試（數學理）