源
天津市2014屆高三第一次六校聯考數學試卷(理科)
一、：（共40分，每小題5分，每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）
1．i為虛數單位，則 ＝ ( )．
A．－i B．－1 C．i D．1
2. 設 為向量，則“ ”是“ ”的 （ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
3.已設變量x，y滿足約束條件x＋2y－5≤0，x－y－2≤0，x≥0，則目標函數z＝2x＋3y＋1的最大值為( ) A．11 B．10 C．9 D.172
4. 如果執行圖1的框圖，輸入N=5，則輸出的數等于（ ）
A． B. C. D.
5．某幾何體的三視圖如圖2所示，則它的體積是( )．
A．8－2π3 B．8－π3 C．8－2π D.2π3
6.設雙曲線x2a2－y2b2＝1(b>a>0)的半焦距為c，直線l過A(a,0)，B(0，b)兩點，若原點O到l的距離為34c，則雙曲線的離心率為( )
A.233或2 B．2 C.2或233 D.233
7．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝13，則△ABC的面積為( )．
A．33 B．23 C．43 D.3
8.已知函數y=f(x)是定義在數集R上的奇函數，且當x∈(-∞,0)時，xf/(x)<f(-x)成立，若 , , ,則a,b,c的大小關系是（ ）
A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.a>c>b
二、題：（本大題共有6小題，每小題5分，共30分）
9. 某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品,產品數量之比依次為2 :3 :5.現用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本,樣本中A種型號產品有16件,那么此樣本的容量 ______.
10.若 的展開式中 的系數為7，則實數 _________.
11．若數列{an}中，a1＝3，an＋an－1＝4(n≥2)，則a2015＝________.
12.直線 （ ）被曲線 所截的弦長為
13.如圖，割線PBC經過圓心O，OB＝PB＝1，OB繞點O逆時針旋轉120°到OD，連PD交圓O于點E，則PE＝________.
14.已知點(a，b)不在直線x＋y－2＝0的下方，則2a＋2b的最小值為________．
三、解答題（本大題共6小題，共80分,解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟）
15.(13分)已知函數
(1)當 時，求函數 的最小值和最大值
(2)設△A,B,C的對邊分別為a,b,c,且c= ， ,若sinB=2sinA，求a,b的值.
16．（13分）一個袋中裝有10個個大小相同的小球．其中白球5個、黑球4個、紅球1個.
(1)從袋中任意摸出2個球，求至少得到1個白球的概率；
(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數為ξ，求隨機變量ξ的數學期望E(ξ)．
17．（13分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD＝DC，E、F分別是AB、PB的中點．
(1)求證：EF⊥CD；
(2)在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論；
(3)求DB與平面DEF所成角的正弦值．
18.(13分) 在直角坐標系xOy中,點P到兩點(0, )、(0, )的距離之和等于4,設點P的軌跡為C,直線y=kx+1與C交于A、B兩點.
(1)寫出C的方程;
(2)若點A在第一象限,證明當k>0時,恒有 .
19.（14分）已知正項數列 的前 項和為 ， 是 與 的等比中項.
（1）求證：數列 是等差數列；
（2）若 ，且 ，求數列 的通項公式；
（3）在（Ⅱ）的條件下，若 ，求數列 的前 項和 .
20.（14分） 已知函數 ， ，其中 ．
(1)若 是函數 的極值點，求實數 的值；
(2)若對任意的 （ 為自然對數的底數）都有 ≥ 成立，求實數 的取值范圍．
2015屆高三第一次六校聯考數學試卷(理科)（答案）
一、
1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A
二、題：
9.80 10. 11.3 12. 14.4
三、解答題（本大題共6小題，共80分,解答應寫出文字說明、證明過程及演算步驟）
15.（13分）
答案：（1）
最小值 -------6分
（2） ----------13分
16．（13分）．
(1)解:記“從袋中任意摸出兩個球，至少得到一個白球”為事件A，
則P(A)＝1－ ＝79．-----3分
(2)隨機變量ξ的取值為0,1,2,3，------4分
由于P(ξ＝0)＝C35C310＝112，-----6分 P(ξ＝1)＝C15C25C310＝512，------8分
P(ξ＝2)＝C25C15C310＝512，-------10分 P(ξ＝3)＝112，------12分
ξ的分布列是
ξ0123
P112
512
512
112
ξ的數學期望E(ξ)＝112×0＋512×1＋512×2＋112×3＝32.---------13分
17．（13分）[解析] 以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，設AD＝a，則D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E(a，a2，0)、F(a2，a2，a2)、P(0,0，a)．
(1)EF→•DC→＝(－a2，0，a2)•(0，a,0)＝0，∴EF⊥DC.-------4分
(2)設G(x,0，z)，則G∈平面PAD.
FG→＝(x－a2，－a2，z－a2)，
FG→•CB→＝(x－a2，－a2，z－a2)•(a,0,0)＝a(x－a2)＝0，∴x＝a2；
FG→•CP→＝(x－a2，－a2，z－a2)•(0，－a，a)＝a22＋a(z－a2)＝0，∴z＝0.
∴G點坐標為(a2，0,0)，即G點為AD的中點．---------8分
(3)設平面DEF的法向量為n＝(x，y，z)．
由n•DF→＝0n•DE→＝0得，(x，y，z)•(a2，a2，a2)＝0，(x，y，z)•(a，a2，0)＝0.即a2(x＋y＋z)＝0，ax＋a2y＝0.
取x＝1，則y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<BD→，n>＝BD→•nBD→n＝a2a•6＝36，
∴DB與平面DEF所成角的正弦值的大小為36------13分
18.（13分）解:(1)設P(x,y),由橢圓定義可知,點P的軌跡C是以(0, ),(0, )為焦點,長半軸為2的橢圓,它的短半軸 ,------2分
故曲線C的方程為 .-----5分
(2)證明:設A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足 消去y并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0,-------7分
故 .-----------9分
=x12+y12-(x22+y22)
=(x12-x22)+4(1-x12-1+x22)
=-3(x1-x2)(x1+x2) .---------11分
因為A在第一象限,故x1>0.
由 知x2<0,從而x1-x2>0.
又k>0,故 ,
即在題設條件下,恒有 .--------13分
19.（14分）解：（Ⅰ） 即 ------1分
當 時， ，∴ ------2分
當 時，
∴ ------3分
即 ------4分
∵ ∴
∴數列 是等差數列------5分
（Ⅱ）由 得 ------7分
∴數列 是以2為公比的等比數列
∴
∴ ------9分
（Ⅲ） ------10分
∴ ①
兩邊同乘以 得 ②
①-②得
------14分
20.（14分）（1）解法1：∵ ，其定義域為 ，----1分
∴ ．3分
∵ 是函數 的極值點，∴ ，即 ．
∵ ，∴ ．
經檢驗當 時， 是函數 的極值點，∴ ． -----5分
解法2：∵ ，其定義域為 ，
∴ ． 令 ，即 ，整理，得 ．
∵ ，
∴ 的兩個實根 （舍去）， ，
當 變化時， ， 的變化情況如下表：
極小值
依題意， ，即 ，∵ ，∴ ．
（2）解：對任意的 都有 ≥ 成立等價于對任意的 都有 ≥ ．------6分
當 ［1， ］時， ．
∴函數 在 上是增函數．∴ ． ----8分
∵ ，且 ， ．
①當 且 ［1， ］時， ，
∴函數 在［1， ］上是增函數，
∴ .由 ≥ ，得 ≥ ，又 ，
∴ 不合題意．-------10分
②當1≤ ≤ 時，
若1≤ ＜ ，則 ，若 ＜ ≤ ，則 ．
∴函數 在 上是減函數，在 上是增函數．
∴ .
由 ≥ ，得 ≥ ，又1≤ ≤ ，∴ ≤ ≤ ．-----12分
③當 且 ［1， ］時， ，
∴函數 在 上是減函數．
∴ .由 ≥ ，得 ≥ ，
又 ，∴ ．------13分
綜上所述， 的取值范圍為 ．-------14分
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