安徽省阜陽市第一中學2013屆高三上學期第二次模擬考試
數學（）試題

一、單選題（每小題5分，共50分）
1.已知集合 ， ，則下列選項正確的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知 的圖像在 上連續，則“ ”是“ 在 內有零點”的（ ）條件。
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
3. 下列函數中周期為 且在 上為減函數的是（ ）
A. B. C. D.
4.設 為定義R上在的奇函數，當 時， （ 為常數），則 （ ）
A. B. C. 1 D. 3
5.若非零向量 ， 滿足 ，且 ，則向量 ， 的夾角為（ ）
A. B. C. D.
6. 等差數列 中，已知 ，則 （ ）
A. B. 24 C. 22 D. 20
7.已知 ， 是兩條不同的直線， ， ， 為三個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A.若 ∥ ， ，則 ∥ ； B.若 ∥ ， ， ，則 ∥ ；
C.若 ⊥ ， ⊥ ，則 ∥ ； D. 若 ∥ ， ⊥ ， ⊥ ，則 ∥ .
8.直線 的傾斜角的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
9.已知定義在 上的函數 滿足 ，且 的導函數 在上 恒有 ，則不等式
的解集為（ ）
A. B. C. D.
10.若直角坐標平面內的兩個點P和Q滿足條件：①P和Q都在函數 的圖像上；②P和Q關于原點對稱,則稱點對 是函數 的一對“友好點對”（ 與 看作同一對“友好點對”）。已知函數 ，則此函數的“友好點對”有（ ）
A. 0對 B. 1對 C.2對 D. 3對
二．題（每小題5分，共25分）
11. 已知i是虛數單位， 為實數,且復數 在復平面內對應的點在虛軸上，則 =_______.
12. 空間直角坐標系中，已知點 ，P點關于 平面的對稱點為 ，則 =_________
13.設 滿足 ，則 的最小值為_________
14. 已知數列 滿足 ， ， 則 的最小值是_________.
15.下列命題中正確命題的序號是：___________
①兩條直線 ， 和兩條異面直線 ， 相交，則直線 ， 一定異面；
② ，使 ；
③ 都有 ；
④ ，使 是冪函數，且在 上遞減；
⑤ 函數 都不是偶函數。
三．解答題（共75分，解答應寫出字說明，證明過程或演算步驟）
16.已知函數 ，
（1）若 的解集是 ，求 ， 的值；
（2）若 = ，解關于 的不等式 .

17．如圖，四棱錐 中, ⊥平面 ，底面四邊形 為矩形， 為 中點，
（1）求證： ⊥ ;
（2）在線段 上是否存在一點 ，使得 ∥平面 ，若存在，指出 的位置；若不存在，說明理由。

18.如圖，一艘輪船在A處正沿直線返回港口B，接到氣象臺的臺風預報，臺風中心O位于輪船正西40k處，受影響的范圍是半徑為20k的圓形區域。已知港口B位于臺風中心正北30k處。
（1）建立適當的坐標系，寫出直線AB的方程;
(2)如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？(不考慮臺風中心的移動)

19. A，B,C是△ABC的內角， ， , 分別是其對邊，已知 ， ,且 ∥ ，B為銳角，
（1）求B的大小；（2）如果 ，求△ABC的面積的最大值。

20.已知函數 ，數列 的前n項和為 ，點 ，（ ）都在函數 的圖像上，
（1）求 的通項公式；
（2）令 ，求 的前n項和 ；
（3）令 ，證明： ， 。

21.已知 ,函數 ， ， ，(其中e是自然對數的底數，為常數),
(1)當 時，求 的單調區間與極值；
（2）在（1）的條件下，求證： ；
（3）是否存在實數 ，使得 的最小值為3. 若存在，求出 的值，若不存在，說明理由。

阜陽一中高三第二次月考數學答案（科）
一、（共10小題，每小題5分，每小題只有一個正確答案）
12345678910
BABACBCCBB
二、題：(共5小題，每小題5分)
11 3 12. 32 13. 14. 15.
三、解答題：
16、（12分）(1) 的增區間是
（2） 由于 為第二象限角所以

17、（12分） 函數 為奇函數，且在 上為增函數， 在 上的最大值為 .若 . 令 看成一條直線 上恒成立，

且 或t=0或 故t的范圍
18、（12分）（1）連 在 中,、N分別為線段 的中點 平面 故N//平面
(2) 為直三棱柱，
方法一： 取 面上一點P作 . 又平面 面 且交線為AB
同理 BC 平面
方法二：過C作 同理 與CT重合為CB BC 平面
方法三：在面ABC內，作 ,在面
同理 BC 平面
19、（12分）證法一

證法二：令

滿足 的區域，

目標函數Z= ，由線性規劃可求 的最小值為

20、（13分）（1） 令 兩根為
（2）原命題等價于證明
方法一用數學歸納法證明
方法二由（1）知
令 得


只需證 即可，即

21、（14分）（1）證明： 。
（2）由（1）的
由錯位相減法得
（3）

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