第 節 數列的概念與簡單表示法
【選題明細表】
知識點、方法題號
數列的概念3、7
由數列的前幾項求數列的通項4、10
遞推公式的應用2、6
an與Sn的關系1、8、11
數列與函數5、9、12
一、
1.設數列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為( A )
(A)15(B)16(C)49(D)64
解析:由a8=S8-S7=64-49=15,故選A.
2.(2015樂山市調研試題)在數列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an+2(n∈N+),則a10等于( C )
(A)34(B)36
(C)38(D) 40
解析:由題意知 = + ,
即 - = - ,
通過累加法可得, = ,
所以an=4n-2,
所以a10=38,
故選C.
3.下列數列中,既是遞增數列又是無窮數列的是( C )
(A)1, , , ,…
(B)-1,-2,-3,-4,…
(C)-1,- ,- ,- ,…
(D)1, , ,…,
解析:根據定義,屬于無窮數列的是選項A、B、C(用省略號),屬于遞增數列的是選項C、D,故同時滿足要求的是選項C.故選C.
4.中國的刺繡有著悠久的歷史,如圖中(1)、(2)、(3)、(4)為刺繡時最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成的,小正方形數越多刺繡越漂亮.現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形,則f(6)=( A )
(A)61(B)64(C)65(D)66
解析:根據所給圖形的規律得,
f(1)=1,f(2)-f(1)=4×1,f(3)-f(2)=4×2,…,f(n)-f(n-1)=4(n-1),再用累加法,
可得f(n)=2n2-2n+1,
所以f(6)=61.
故選A.
5.下面五個結論:①數列若用圖象表示,從圖象上看都是一群孤立的點;②數列的項數是無限的;③數列的通項公式是唯一的;④數列不一定有通項公式;⑤將數列看做函數,其定義域是N*(或它的有限子集{1,2,…,n}).其中正確的是( B )
(A)①②④⑤(B)①④⑤
(C)①③④(D)②⑤
解析:②中數列的項數也可以是有限的,③中數列的通項公式不唯一,故選B.
6.若數列{an}滿足a1=1,a2=2015,且an= (n≥3,n∈N*),則a2015等于( B )
(A)1(B)2015
(C) (D)-1
解析:因為a1=1,a2=2015,
所以a3= = =2015;
a4= = =1;a5= = ;
a6= = = ;a7= = =1,
a8= = =2015,顯然a7=a1,a8=a2,
根據遞推關系,逐步代入,則得a9=a3,a10=a4,….
故該數列的項周期性出現,其周期為6,a2015=a335×6+3=a3=2015,故選B.
二、題
7.在數列-1,0, , ,…, ,…中,0.08是它的第 項.
解析:令 =0.08,得2n2-25n+50=0,
即(2n-5)(n-10)=0.解得n=10或n= (舍去).
∴a10=0.08.
答案:10
8. (2015吉林高三期末)已知數列{an}的前n項和為Sn,Sn=n2+2n,則a4+a5+a6= .
解析:法一 n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1,
當n=1時,a1=S1=3,符合公式,
∴數列{an}是等差數列.
∴a4+a5+a6=3a5=3×11=33.
法二 a4+a5+a6=S6-S3=33.
答案:33
9.已知{an}是遞增數列,且對于任意的n∈N*,an=n2+λn恒成立,則實數λ的取值范圍是 .
解析:因為{an}是遞增數列,
故對任意的n∈N*,
都有an+1>an,
即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,
整理,得2n+1+λ>0,
即λ>-(2n+1)(*).
因為n≥1,故-(2n+1)≤-3,
要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3.
答案:λ>-3
三、解答題
10.已知有限數列 , , , ,…, (≥7,且∈N*).
(1)指出這個數列的一個通項公式;
(2)判斷0.98是不是這個數列中的項?若是,是第幾項?
解:(1)因為前n項分子依次為4,9,16,25,…,可看成與序號n的關系式為(n+1)2;
而每一項的分母恰好比分子大1,
所以通項公式分母可為(n+1)2+1,
所以數列的一個通項公式為
an= (n=1,2,…,-1).
(2)是,因為數列的通項公式為an= ,
所以設0.98是這個數列的第n項,
即 =0.98,
解得n=6∈N*(n=-8舍去),
所以0.98是數列中的第6項.
11.已知下列數列{an}的前n項和Sn,求數列{an}的通項公式.
(1)Sn=3n-2;
(2)Sn=n2an(n≥2),a1=1.
解:(1)當n=1時,a1=S1=1,
當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2×3n-1,
∴an=
(2)當n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,
即(n2-1)an=(n-1)2an-1,
∴ = ,
∴ = • • •…• • • = • • •…• × × = ,
∴an= .又當n=1時a1= =1,
適合an= .
∴an= .
12.已知數列{an}的通項公式為an=n2-n-30.
(1)求數列的前三項,60是此數列的第幾項?
(2)n為何值時,an=0,an>0,an<0?
(3)該數列前n項和Sn是否存在最值?說明理由.
解:(1)由an=n2-n-30,得
a1=1-1-30=-30,
a2=22-2-30=-28,
a3=32-3-30=-24.
設an=60,則60=n2-n-30.
解之得n=10或n=-9(舍去).
∴60是此數列的第10項.
(2)令an=n2-n-30=0,
解得n=6或n=-5(舍去).
∴a6=0.
令n2-n-30>0,
解得n>6或n<-5(舍去).
∴當n>6(n∈N*)時,an>0.
令n2-n-30<0,解得0<n<6.
∴當0<n<6(n∈N*)時,an<0.
(3)Sn存在最小值,不存在最大值.
由an=n2-n-30= -30 ,(n∈N*)
知{an}是遞增數列,且
a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,
故Sn存在最小值S5=S6,不存在Sn的最大值.
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