2012年高中數學聯賽陜西賽區預賽試題
(5月20日 上午 8:30---11:00)
第一試
題:(每小題8分，共80分)要求直接將答案填在題中的橫線上.
1.已知集合 ,若非空集合 滿足： 中各元素都加4后構成 的一個子集， 中個元素都減去4后也構成 的一個子集，則 .
答案:
2.已知兩條直線 ， ，設函數 的圖像與 、 分別交于點A、B，函數 的圖像與 、 分別交于點C、D，則直線AB與CD的交點坐標是
答案:
3.對于正整數 ,若 、 ,當 最小時，我們稱 為 的“最佳分解”，并規定 .例如，12的分解有12 1，6 2，4 3，其中4 3為12的“最佳分解”，則 .關于 ，有以下四個判斷：
① ② ； ③ ； ④ .
其中，所有正確判斷的序號是 .
答案:②、④
4.已知 為等腰直角三角形， ，且 ， ，若
，則 的面積等于 .
答案:1
5.在正四面體ABCD中，AO 平面BCD，垂足為O.設是線段AO上一點，且滿足 ，則 .
答案:1
6.如圖1，Rt 的三個頂點都在給定的拋物線 上，且斜邊AB//x軸，則斜邊上的高 .
答案:
7.某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎（參與游戲活動的都有獎），且相應獲獎的概率是以a為首項、2為公比的等比數列，相應獲得的獎金是以700元為首項、以 為公差的等差數列.則參與這項游戲活動獲得獎金的期望是 元.
答案:500
8.設 、 是兩個不同的質數，則 被 除的余數是 .
答案:1
9.定義在R上的函數 滿足： ，且對于任意的 ，都有 .則不等式 的解集為 .
答案:
10.從公路旁的材料工地沿筆直的公路向同一方向運送電線桿到500以外的公路邊埋栽，在500處栽一根，然后每間隔50在公路邊栽一根.已知運輸車輛一次最多只能運三根，要完成運載20根電線桿的任務，并返回材料工地，則運輸車總的行程最小為
.
答案:14000
第二試
一、（本題滿分20分）
在 中，已知 ，且 .
（1）求角A的大小和 邊的長；
（2）若點P在 內運動（含邊界），且點P到三邊距離之和為d,設點P到邊BC、CA的距離分別為 ，試用 表示d,并求d的取值范圍.
答案：

二、（本題滿分20分）
在平面直角坐標系中，以點 為圓心的圓經過坐標原點 ，且分別與 軸、 軸交于點 （不同于原點 ）.
（1）求證： 的面積 為定值；
（2）設直線 與圓 相交于不同的兩點 ，且 ，求圓 的標準方程.
答案：

三、（本題滿分20分）
如圖2，銳角 內接于圓 ，過圓心 且垂直于半徑 的直線分別交邊 于點 設圓 在 兩點處的切線相交于點 .
求證：直線 平分線段 .
證明：如圖4，過點 作 的平行線，分別交 延長線于點 ，則
因為 是 的外心，所以

所以
又 為圓 的切線，所以 .
所以 ，于是 .
同理
又 ，所以 ，即 平分線段 .
因為 ，故直線 平分線段 .
四、（本題滿分30分）
已知數列 滿足： ， .
（1）求數列 的通項公式；
（2）若數列 滿足： ，且對任意正整數 ,
不等式 恒成立，求整數的最大值.
若存在 ，則由 知， .依次類推， ，這與 矛盾.故
于是，由 ，得
，即 .
所以 是首項為3、公比為3的等比數列.
所以 ，即
由（1）得 .從而 .
于是，不等式 等價于

令 則

所以 單調遞增.
所以 .
于是， ，即 .
故整數 的最大值為13.

五、（本題滿分30分）
對于任意的正整數n,證明：
.
證明：記 ， .
先證明：對任意 ，有 .
事實上，
因為 單調遞增，所以 .
故
再證明：對任意 ，有 .
當 時， ，不等式成立.
當 時，
（1）若 為奇數，令 ，則
（2）若 為偶數，令 ，則
.
綜上所述，對任意 ，都有 .

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/43526.html

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