2013年高考數學總復習 11-2 復數的概念與運算但因為測試 新人教B版
1.(2011•福建理，1)i是虛數單位，若集合S＝{－1,0,1}，則(　　)
A．i∈S　　　　　　　　　B．i2∈S
C．i3∈S D.2i∈S
[答案]　B
[解析]　i2＝－1∈S，故選B.
2．()(2011•天津，1)i是虛數單位，復數1－3i1－i＝(　　)
A．2－i B．2＋i
C．－1－2i D．－1＋2i
[答案]　A
[解析]　1－3i1－i＝1－3i1＋i1－i1＋i＝4－2i2＝2－i.
(理)(2011•安徽皖南八校聯考)復數z滿足z＝2－i1－i，則z－等于(　　)
A．1＋3i B．3－i
C.32－12i D.12＋32i
[答案]　C
[解析]　∵z＝2－i1－i＝2－i1＋i2＝3＋i2，
∴z－＝32－12i，故選C.
3．(2011•揭陽一中月考)設a，b為實數，若復數1＋2ia＋bi＝1＋i，則(　　)
A．a＝32，b＝12 B．a＝3，b＝1
C．a＝12，b＝32 D．a＝1，b＝3
[答案]　A
[解 析]　1＋2i＝(a＋bi)(1＋i)＝a－b＋(a＋b)i，
∴a－b＝1a＋b＝2，∴a＝32b＝12，故選A.
4．()(2011•東濟南一模)設a是實數，且a1＋i＋1－i2是實數，則a等于(　　)
A.12　　 　B．－1　　 　
C．1　　　　D．2
[答案]　B
[解析]　∵a1＋i＋1－i2＝a1－i2＋1－i2
＝1＋a2－1＋a2i是實數，
又∵a∈R，∴1＋a2＝0，∴a＝－1.
(理)(2011•東濰坊一模)復數z＝2＋i1＋i(∈R)是純虛數，則＝(　　)
A．－2　　 　B．－1　　 　
C．1　　　　D．2
[答案]　A
[解析]　因為z＝2＋i1－i2＝2＋2＋－22i是純虛數，所以2＋＝0，－2≠0.得＝－2.
5．(2010•廣東江門調研)已知復數z＝a＋i(其中a∈R，i為虛數單位)的模為z＝2，則a等于(　　)
A．1 B．±1
C.3 D．±3
[答案]　D
[解析]　∵z＝2，∴a2＋1＝4，∴a＝±3.
6．()(2011•安徽，1)設i是虛數單位，復數1＋ai2－i為純虛數，則實數a為(　　)
A．2 B．－2
C．－ 12 D.12
[答案]　A
[解析]　1＋ai2－i＝1＋ai2＋i2－i2＋i＝2－a＋2a＋1i5＝2－a5＋2a＋15i為純虛數，∴2－a5＝02a＋15≠0，∴a＝2.
(理)(2011•溫州八校期末)若i為虛數單位，已知a＋bi＝2＋i1－i(a，b∈R)，則點(a，b)與圓x2＋y2＝2的關系為(　　)
A．在圓外 B．在圓上
C．在圓內 D．不能確定
[答案]　A
[解析]　∵a＋bi＝2＋i1－i＝2＋i1＋i2
＝12＋32i(a，b∈R)，
∴a＝12b＝32，
∵122＋322＝52>2，
∴點P12，32在圓x2＋y2＝2外，故選A.
7．規定運算a　bc　d＝ad－bc，若　z　i－i　2＝1－2i，設i為虛數單位，則復數z＝________.
[答案]　1－i
[解析]　由已知可得　z　i－i　2＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.
8．(2011•無為中學 月考)已知復數z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它們所對應的點分別為A、B、C.若OC→＝xOA→＋yOB→，則x＋y的值是________．
[答案]　5
[解析]　∵OC→＝xOA→＋yOB→，∴(3－2i)＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，
∴－x＋y＝32x－y＝－2，解得x＝1y＝4，故x＋y＝5.
9．(2010•上海大同中學�？�)設i為虛數單位，復數z＝(12＋5i)(cosθ＋isinθ)，若z∈R，則tanθ的值為________．
[答案]�。�512
[解析]　z＝(12cosθ－5sinθ)＋(12sinθ＋5cosθ)i∈R，
∴12sinθ＋5cosθ＝0，∴tanθ＝－512.
10．(2010•江蘇通州市調研)已知復數z＝a2－7a＋6a＋1＋(a2－5a－6)i(a∈R)．試求實數a分別為什么值時，z分別為：
(1)實數；　(2)虛數；　(3)純虛數．
[解析]　(1)當z為實數時，a2－5a－6＝0a＋1≠0，∴a＝6，
∴當a＝6時，z為實數．
(2)當z為虛數時，a2－5a－6≠0a＋1≠0，
∴a≠－1且a≠6，
故當a∈R，a≠－1且a≠6時，z為虛數．
(3)當z為純虛數時，a2－5a－6≠0a2－7a＋6＝0a＋1≠0
∴a＝1，故a＝1時，z為純虛數.

11.()(2011•東北四市統考)已知復數z1＝cos23°＋isin23°和復數z2＝cos37°＋is in37°，則z1•z2為 (　　)
A.12＋32i B.32＋12i
C.12－32i D.32－12i
[答案]　A
[解析]　z1•z2＝cos23°cos37°－sin23°sin37°＋(sin37°cos23°＋cos37°sin23°)i＝cos60°＋i•sin60°＝12＋32i，故選A.
(理)若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數單位)，則使z2＝－1的θ值可能是(　　)
A.π6 B.π4
C.π3 D.π2
[答案]　D
[解析]　∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴cos2θ＝－1sin2θ＝0.
∴2θ＝2kπ＋π　(k∈Z)，
∴θ＝kπ＋π2.令k＝0知，D正確．
12．如果復數(2＋i)(1＋i)是實數，則實數等于(　　)
A．1 B．－1
C.2 D．－2
[答案]　B
[解析]　∵(2＋i)(1＋i)＝(2－)＋(3＋1)i是實數，∈R，
∴由a＋bi(a、b∈R)是實數的充要條件是b＝0，
得3＋1＝0，即＝－1.
13．(2011•南通調研)若復數z滿足z＋i＝3＋ii，則z＝________.
[答案]　17
[解析]　∵z＝3＋ii－i＝－3i＋1－i＝1－4i，
∴z＝17.
14．在復平面內，z＝cos10＋isin10的對應點在第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，
∴z的對應點在第三象限 ．
15．()設復數z＝lg(2－2－2)＋(2＋3＋2)i，當實數取何值時．
(1)z是純虛數．
(2) z是實數．
(3)z對應的點位于復平面的第二象限．
[解析]　(1)由題意知lg2－2－2＝0，2＋3＋2≠0.
解得＝3.
所以當 ＝3時，z是純虛數．
(2)由2＋3＋2＝0，得＝－1或＝－2，
又＝－1或＝－2時，2－2－2>0，
所以當＝－1或＝－2時，z是實數．
(3)由lg2－2－2<0，2＋3＋2>0.
解得：－1<<1－3或1＋3<<3.
(理)設z是虛數，ω＝z＋1z是實數，且－1<ω<2.
(1)求z的實部的取值 范圍；
(2)設u＝1－z1＋z，那么u是不是純虛數？并說明理由．
[解析]　(1)設z＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，
ω＝a＋bi＋1a＋bi＝a＋aa2＋b2＋b－ba2＋b2i，
∵ω是實數，∴b－ba2＋b2＝0.
又b≠0，∴a2＋b2＝1，ω＝2a.
∵－1<ω<2，∴－12<a<1，
即z的實部的取值范圍是－12，1.
(2)u＝1－z1＋z＝1－a－bi1＋a＋bi＝1－a2－b2－2bi1＋a2＋b2＝－ba＋1i，
∵－12<a<1，b≠0，∴u是純虛數．
16．將一顆質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分 別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次，記第一次出現的點數為a，第二次出現的點數為b.
(1)設復數z＝a＋bi(i為虛數單位)，求事件“z－3i為實數”的概率；
(2)求點P(a，b)落在不等式組a－b＋2≥00≤a≤4b≥0表示的平面區域內(含邊界)的概率．
[解析]　(1)z＝a＋bi(i為虛數單位)，z－3i為實數，則a＋bi－3i＝a＋(b－3)i為實數，則b＝3.
依題意得b的可能取值為1,2,3,4,5,6，故b＝3的概率為16.
即事件“z－3i為實數”的概率為16.
(2)連續拋擲兩次骰子所得結果如下表：
123456
1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4) (6,5)(6,6)
由上表知，連續拋擲兩次骰子共有36種不同的結果．
不等式組所表示的平面區域如圖中陰影部分所示(含邊界)．

由圖知，點P(a，b)落在四邊形ABCD內的結果 有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18種．
所以點P(a，b)落在四邊形ABCD內(含邊界)的概率為P＝1836＝12.

1．(2011•羅一中月考)已知復數z1＝cosα＋is inα，z2＝sinβ＋icosβ，(α，β∈R)，復數z＝z1•z－2的對應點在第二象限，則角α＋β所在象限為(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案]　C
[解析]　∵z＝(cosα＋isinα)•(sinβ－icosβ)＝sin(α＋β)－icos(α＋β)的對應點在第二象限，
∴sinα＋β<0－cosα＋β>0，∴角α＋β的終邊在第三象限．
2．(2010•安徽合肥市質檢)已知復數a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i為虛數單位，x∈R)，若復數ab∈R，則實數x的值為(　　)
A．－6 B．6
C.83 D．－83
[答案]　C
[解析]　ab＝3＋2i4＋xi＝3＋2i4－xi16＋x2＝12＋2x16＋x2＋8－3x16＋x2•i∈R，∴8－3x16＋x2＝0，∴x＝83.
3．(2010•泰安市質檢)若 復數2＋ai1－i(a∈R)是純虛數(i是虛數單位)，則a的值為(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案]　D
[解析]　2＋ai1－i＝2＋ai1＋i1－i1＋i＝a＋2i＋2－a2為純虛數，∴2－a＝0a＋2≠0，∴a＝2.
4．若i是虛數單位，則滿足(p＋qi)2＝q＋pi的實數p、q一共有(　　)
A．1對 B．2對
C．3對 D．4對
[答案]　D
[解析]　由(p＋qi)2＝q＋pi得(p2－q2)＋2pqi＝q＋pi，所以p2－q2＝q，2pq＝p.解得p＝0q＝0，或p＝0q＝－1，
或p＝32q＝12，或p＝－32q＝12，因此滿足條件的實數p、q一共有4對．
5．設A、B為銳角三角形的兩個內角，則復數z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)對應點位于復平面的第________象限.
[答案]　二
[解析]　由于0<A<π2，0<B<π2且A＋B>π2
∴π2>A>π2－B>0
∴tanA>cotB，cotA<tanB
故復數z對應點在第二象限．
6．關于x的不等式x2－nx＋p>0(，n，p∈R)的解集為區間(－53，2)，則復數＋ni所對應的點位于復平面內的第________象限．
[答案]　三
[解析]　∵x2－nx＋p>0(、n、p∈R)的解集為(－53，2)，
∴<0－53＋2＝n>0－53×2＝p<0，∵<0，∴p>0，n<0.
故復數＋ni所對應的點位于復平面內的第三象限．
7．(2011•上海，19)已知復數z1滿足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數單位)，復數z2的虛部為2，且z1•z2是實數，求z2.
[解析]　設z1＝(a＋2)＋bi，a，b∈R，
∵(z1－2)(1＋i )＝1－i，∴a－b＋(b＋a)i＝1－i.
∴a－b＝1a＋b＝－1∴a＝0b＝－1，∴z1＝2－i.
又設z2＝c＋2i，c∈R，則z1z2＝(2－i)(c＋2i)＝(2c＋2)＋(4－c)i
∵z1z2∈R，∴4－c＝0，c＝4，∴z2＝4＋2i.

本文來自：逍遙右腦記憶 /gaosan/49309.html

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