數學試卷（理科） 2013.04.
一、題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．已知全集 ，集合 ，則 .
2．若復數 滿足 （ 是虛數單位），則 .
3．已知直線 的傾斜角大小是 ，則 .
4．若關于 的二元一次方程組 有唯一一組解，則實數 的取值范圍是 .
5．已知函數 和函數 的圖像關于直線 對稱，
則函數 的解析式為 .
6．已知雙曲線的方程為 ，則此雙曲線的焦點到漸近線的距離為 .
7．函數 的最小正周期 .
8．若 展開式中含 項的系數等于含 項系數的8倍，則正整數 .
9．執行如圖所示的程序框圖，若輸入 的值是 ，則輸出 的值是 .
10．已知圓錐底面半徑與球的半徑都是 ，如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等，
那么這個圓錐的母線長為 ．
11．某中學在高一年級開設了 門選修課，每名學生必須參加這 門選修課中的一門，對于該年級的
甲、乙、丙 名學生，這 名學生選擇的選修課互不相同的概率是 (結果用最簡分數表示)．
12．各項為正數的無窮等比數列 的前 項和為 ，若 ， 則其公比 的取值范圍是 .
13．已知兩個不相等的平面向量 ， ( )滿足 ＝2，且 與 － 的夾角為120°，
則 的最大值是 .
14．給出30行30列的數表 ： ，其特點是每行每列都構成
等差數列，記數表主對角線上的數 按順序構成數列 ，存在正整數
使 成等差數列，試寫出一組 的值 .
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15．已知 ， ，則 的值等于………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
16．已知圓 的極坐標方程為 ，則“ ”是“圓 與極軸所在直線相切”的 ………………………………………………………………………………（ ）
（A）充分不必要條件．（B）必要不充分條件．（C）充要條件．（D）既不充分又不必要條件．
17．若直線 經過點 ，則 …………………………（ ）
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
18． 已知集合 ，若對于任意 ，存在 ，使得
成立，則稱集合 是“ 集合”. 給出下列4個集合：
① ②
③ ④
其中所有“ 集合”的序號是……………………………………………………（ ）
（A）②③ ． （B）③④ ． （C）①②④． （D）①③④．
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟.
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分．
在棱長為 的正方體 中， 分別為 的中點．
（1）求直線 與平面 所成角的大��；
（2）求二面角 的大小．
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
如圖所示，扇形 ，圓心角 的大小等于 ，半徑為 ，在半徑 上有一動點 ，
過點 作平行于 的直線交弧 于點 ．
（1）若 是半徑 的中點，求線段 的大��；
（2）設 ，求△ 面積的最大值及此時 的值．
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分 ．
已知函數 ．
（1）若 是偶函數，在定義域上 恒成立，求實數 的取值范圍；
（2）當 時，令 ，問是否存在實數 ，使 在 上是減函數，
在 上是增函數？如果存在，求出 的值；如果不存在，請說明理由．
22．（本題滿分16分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
已知點 ， 、 、 是平面直角坐標系上的三點，且 、 、 成等差數列，
公差為 ， ．
（1）若 坐標為 ， ，點 在直線 上時，求點 的坐標；
（2）已知圓 的方程是 ，過點 的直線交圓于 兩點，
是圓 上另外一點，求實數 的取值范圍；
（3）若 、 、 都在拋物線 上，點 的橫坐標為 ，求證：線段 的垂直平分線
與 軸的交點為一定點，并求該定點的坐標．
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
已知數列 的前 項和為 ，且滿足 ( )， ，設 ， ．
（1）求證：數列 是等比數列；
（2）若 ≥ ， ，求實數 的最小值；
（3）當 時，給出一個新數列 ，其中 ，設這個新數列的前 項和為 ，
若 可以寫成 ( 且 )的形式，則稱 為“指數型和”．問 中的項
是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．
四區聯考2014學年度第二學期高三數學
參考答案及評分標準 2013.04
一．題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1． ； 2． ； 3． ； 4． ； 5． ； 6． ；
7． ；8． ；9． ；10． ；11． ；12． ；13． ；14． ．
二、（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答案紙的相應編號上，填上正確的答案，選對得5分，否則一律得零分.
15． D ； 16． A ； 17． B ；18． A
三、解答題（本大題滿分74分）本大題共5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟 .
19．（本題滿分12分）本題共有2小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分7分 ．
（1）解法一：建立坐標系如圖
平面 的一個法向量為
因為 ， ，
可知直線 的一個方向向量為 ．
設直線 與平面 成角為 ， 與 所成角為 ，則
解法二： 平面 ，即 為 在平面 內的射影，
故 為直線 與平面 所成角，
在 中， ,
（2）解法一：建立坐標系如圖．平面 的一個法向量為
設平面 的一個法向量為 ，因為 ，
所以 ，令 ，則
由圖知二面角 為銳二面角，故其大小為 ．
解法二：過 作平面 的垂線，垂足為 ， 即為所求
，過 作 的垂線設垂足為 ， ∽
即 在 中
所以二面角 的大小為 ．
20．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解:（1）在△ 中， ，
由
得 ，解得 ．
（2）∵ ∥ ，∴ ，
在△ 中，由正弦定理得 ，即
∴ ,又 ．
解法一：記△ 的面積為 ，則 ，
∴ 時， 取得最大值為 .
解法二：
即 ，又 即
當且僅當 時等號成立,
所以
∴ 時， 取得最大值為 .
21．（本題滿分14分）本題共有2小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分 ．
解:（1） 是偶函數， 即 ，
又 恒成立即
當 時
當 時， ，
當 時， ，
綜上：
（2）
是偶函數，要使 在 上是減函數在 上是增函數，即 只要滿足
在區間 上是增函數在 上是減函數．
令 ，當 時 ； 時 ，由于 時，
是增函數記 ，故 與 在區間 上
有相同的增減性，當二次函數 在區間 上是增函數在 上
是減函數，其對稱軸方程為 ．
22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.
解（1） ，所以 ，設
則 ，消去 ，得 ，…（2分）
解得 ， ,所以 的坐標為 或
（2）由題意可知點 到圓心的距離為 …（6分）
（?）當 時，點 在圓上或圓外， ，
又已知 ， ，所以 或
（?）當 時，點 在圓內，所以 ，
又已知 ， ，即 或
結論：當 時， 或 ；當 時， 或
（3）因為拋物線方程為 ，所以 是它的焦點坐標，點 的橫坐標為 ，即
設 ， ，則 ， ， ，
所以
直線 的斜率 ，則線段 的垂直平分線 的斜率
則線段 的垂直平分線 的方程為
直線 與 軸的交點為定點
23．（本題滿分18分）本題共有3小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.
解：（1） ， ， ，當 時，
=2，所以 為等比數列． ， ．
（2） 由（1）可得
； ， ，
所以 ，且 ．所以 的最小值為
（3）由（1）當 時，
當 時， ， ，
所以對正整數 都有 ．
由 ， ，( 且 )， 只能是不小于3的奇數．
①當 為偶數時， ，
因為 和 都是大于1的正整數，
所以存在正整數 ，使得 ， ，
, ，所以 且 ，
相應的 ，即有 ， 為“指數型和”；
②當 為奇數時， ，由于 是 個奇數之和，
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