數學學科測試（文史類） 2013.4
（考試時間120分鐘 滿分150分）
本試卷分為（共40分）和非（共110分）兩部分
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
（1） 為虛數單位，復數 的虛部是
A． B． C． D .
（2）若集合 ， ，則
A. B. C. D.
（3）已知向量 ， .若 ，則實數 的
值為
A． B． C． D．
（4）已知命題 ： ， ；命題 ： ， .
則下列判斷正確的是
A． 是假命題 B． 是假命題 C． 是真命題 D． 是真命題
（5）若直線 與圓 有兩個不同的公共點，則實數 的取值范圍是
A． B．
C． D .
（6）“ ”是“關于 的不等式組 表示的平面區域為三角形”的
A．充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
（7）某個長方體被一個平面所截，得到的幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為
（8）已知函數 .若 ，使 ，則稱 為函數 的一個“生成點”.函數 的“生成點”共有
A. 1個 B .2個 C .3個 D .4個
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卡上.
（9）以雙曲線 的右焦點為焦點，頂點在原點的拋物線的標準方程是 .
（10）執行如圖所示的程序框圖，輸出結果S= .
（11） 在等比數列 中， ，則 ，若 為等差數列，且 ，則數列 的前5項和等于 .
（12）在 中， , , 分別為角 , , 所對的邊，且滿足 ，則 ，
若 ，則 .
（13） 函數 是定義在 上的偶函數，且滿足 .當 時， .若在區間 上方程 恰有三個不相等的實數根，則實數 的取值范圍是 .
（14）在平面直角坐標系 中，點 是半圓 （ ≤ ≤ ）上的一個動點，點 在線段 的延長線上．當 時，則點 的縱坐標的取值范圍是 ．
三、解答題：本大題共6小題，共80分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
（15）（本小題滿分13分）
已知函數 （ ）的最小正周期為 .
（Ⅰ）求 的值及函數 的單調遞增區間；
（Ⅱ）當 時，求函數 的取值范圍.
（16） （本小題滿分13分）
國家環境標準制定的空氣質量指數與空氣質量等級對應關系如下表：
空氣質量指數0-5051-100101-150151-200201-300300以上
空氣質量等級1級優2級良3級輕度污染4級中度污染5級重度污染6級嚴重污染
由全國重點城市環境監測網獲得2月份某五天甲城市和乙城市的空氣質量指數數據用
莖葉圖表示如下：
（Ⅰ）試根據上面的統計數據，判斷甲、乙兩個城市的空氣質量指數的方差的大小關系（只需寫出結果）；
（Ⅱ）試根據上面的統計數據，估計甲城市某一天空氣質量等級為2級良的概率；
（Ⅲ）分別從甲城市和乙城市的統計數據中任取一個，試求這兩個城市空氣質量等級相同的概率．
(注： ，其中 為數據 的平均數.)
（17） （本小題滿分14分）
如圖，在四棱錐 中，平面 平面 ，且 ， ．四邊形 滿足 ， ， ． 為側棱 的中點， 為側棱 上的任意一點.
（Ⅰ）若 為 的中點，求證： 平面 ；
（Ⅱ）求證：平面 平面 ；
（Ⅲ）是否存在點 ，使得直線 與平面 垂直？若存在，
寫出證明過程并求出線段 的長；若不存在，請說明理由．
（18） （本小題滿分13分）
已知函數 ，其中 ．
（Ⅰ）若曲線 在點 處的切線的斜率為 ，求 的值；
（Ⅱ）求函數 的單調區間.
（19） （本小題滿分14分）
已知橢圓 過點 ,離心率為 .
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）過點 且斜率為 （ ）的直線 與橢圓 相交于 兩點，直線 ， 分別交直線 于 ， 兩點,線段 的中點為 .記直線 的斜率為 ，求證: 為定值.
（20）（本小題滿分13分）
由 按任意順序組成的沒有重復數字的數組，記為 ，設 ，其中 .
（Ⅰ）若 ，求 的值；
（Ⅱ）求證： ；
（Ⅲ）求 的最大值.
(注：對任意 ， 都成立.)
北京市朝陽區高三年級第一次綜合練習
數學學科測試答案（文史類） 2013.4
一、選擇題：
題號（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
答案ACBDDADB
二、題：
題號（9）（10）（11）（12）（13）（14）
答案 ； ；
（注：兩空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答題：
（15）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） ……………………………………………1分
. ……………………………………………………4分
因為 最小正周期為 ，所以 .………………………………………………5分
于是 .
由 ， ，得 .
所以 的單調遞增區間為[ ]， .……………………………8分
（Ⅱ）因為 ，所以 ， …………………………………10分
則 . …………………………………………………12分
所以 在 上的取值范圍是[ ]. ………………………………………13分
（16）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）甲城市的空氣質量指數的方差大于乙城市的空氣質量指數的方差.……………3分
（Ⅱ）根據上面的統計數據，可得在這五天中甲城市空氣質量等級為2級良的頻率為 ，
則估計甲城市某一天的空氣質量等級為2級良的概率為 ．………………6分,
（Ⅲ）設事件A：從甲城市和乙城市的上述數據中分別任取一個，這兩個城市的空氣質量等級相同，由題意可知，從甲城市和乙城市的監測數據中分別任取一個，共有 個結果，分別記為：
（29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78）
（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），
（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），
（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），
（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）.
其數據表示兩城市空氣質量等級相同的包括同為1級優的為甲29，乙41，乙43，同為2級良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
則空氣質量等級相同的為：
（29，41），（29，43），
（53，55），（53，58），（53，78）,
（57，55），（57，58），（57，78），
（75，55），（75，58），（75，78）.共11個結果.
則 .
所以這兩個城市空氣質量等級相同的概率為 ．
…………………………………………………………………13分
（17）（本小題滿分14分）
證明：（Ⅰ）因為 分別為側棱 的中點，
所以 ．
因為 ，所以 ．
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ． ……………………………………………………4分
（Ⅱ）因為平面 平面 ，
平面 平面 ，且 ， 平面 .
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
又因為 ， ，所以 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 ．……………………………………………………8分
（Ⅲ）存在點 ，使得直線 與平面 垂直.
在棱 上顯然存在點 ,使得 .
由已知， ， ， ， ．
由平面幾何知識可得 ．
由（Ⅱ）知， 平面 ，所以 ，
因為 ，所以 平面 ．
而 平面 ，所以 ．
又因為 ,所以 平面 .
在 中， ，
可求得， ．
可見直線 與平面 能夠垂直，此時線段 的長為 ．……………14分
（18）（本小題滿分13分）
解：(Ⅰ)由 可知，函數定義域為 ，
且 .由題意， ，
解得 .……………………………………………………………………………4分
（Ⅱ） .
令 ，得 ， .
（1）當 時， ，令 ，得 ;令 ，得 .
則函數 的單調遞減區間為 ，單調遞增區間為 .
（2）當 ，即 時，令 ，得 或 .
則函數 的單調遞增區間為 ， .
令 ，得 .
則函數 的單調遞減區間為 .
（3）當 ，即 時， 恒成立，則函數 的單調遞增區間為 .
（4）當 ，即 時，令 ，得 或 ，
則函數 的單調遞增區間為 ， .
令 ，得 .
則函數 的單調遞減區間為 . ……………………………………13分
（19）（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）依題得 解得 ， .
所以橢圓 的方程為 . …………………………………………………4分
（Ⅱ）根據已知可設直線 的方程為 .
由 得 .
設 ,則 .
直線 ， 的方程分別為： ，
令 ，
則 ,所以 .
所以
. ……………………………………………………14分
（20）（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ） .………3分
（Ⅱ）證明：由 及其推廣可得，
= . ……………………………7分
（Ⅲ） 的 倍與 倍共 個數如下：
其中最大數之和與最小數之和的差為 ，所以 ，
對于 ， ，
所以 的最大值為 . ……………………………………………………13分
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