2013年普通高等學校招生全國統一考試（湖北卷）
數 學（理工類）
本試題卷共6頁，22題，其中第15、16題為選考題。全卷滿分150分�？荚囉脮r120分鐘。
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注意事項：
1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。用統一提供的2B鉛筆將答題卡上試卷類型A后的方框涂黑。
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用統一提供的2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。答在試題卷、草稿紙上無效。
3．填空題和解答題的作答：用統一提供的簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區域內。答在試題卷、草稿紙上無效。
4．選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用統一提供的2B鉛筆涂黑。考生應根據自己選做的題目準確填涂題號，不得多選。答題答在答題卡上對應的答題區域內，答在試題卷、草稿紙上無效。
5．考生必須保持答題卡的整潔。考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．在復平面內，復數 （ 為虛數單位）的共軛復數對應的點位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集為 ，集合 ， ，則
A． B．
C． D．
3．在一次跳傘訓練中，甲、乙兩位學員各跳一次．設命題p是“甲降落在指定范圍”，q是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學員沒有降落在指定范圍”可表示為
A． ∨ B． ∨ C． ∧ D． ∨
4．將函數 的圖象向左平移 個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是
A． B． C． D．
5．已知 ，則雙曲線 ： 與 ： 的
A．實軸長相等 B．虛軸長相等 C．焦距相等 D．離心率相等
6．已知點 、 、 、 ，則向量 在 方向上的投影為
A． B． C． D．
7．一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度 （t的單位：s，v的單位：m/s）行駛至停止. 在此期間汽車繼續行駛的距離（單位：m）是
A． B． C． D．
8．一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個簡單幾何體組成，其體積分別記為 ， ， ， ，上面兩個簡單幾何體均為旋轉體，下面兩個簡單幾何體均為多面體，則有
A． B． C． D．
9．如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體. 經過攪
拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的涂漆面數為 ，則 的均值
A． B． C． D．
10．已知 為常數，函數 有兩個極值點 ， ，則
A． ， B． ，
C． ， D． ，
二、填空題：本大題共6小題，考生共需作答5小題，每小題5分，共25分. 請將答案填在答題卡對應題號的位置上. 答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分.
（一）必考題（11?14題）
11．從某小區抽取100戶居民進行月用電量調查，發現其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示.
（Ⅰ）直方圖中 的值為_________；
（Ⅱ）在這些用戶中，用電量落在區間 內的戶數為_________.
第11題圖 第12題圖
12．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，輸出的結果 _________.
13．設 ，且滿足： ， ，則 _________.
14．古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數. 如三角形數1，3，6，10， ，
第 個三角形數為 . 記第 個 邊形數為 ，以下列出
了部分k邊形數中第 個數的表達式：
三角形數 ，
正方形數 ，
五邊形數 ，
六邊形數 ，
………………………………………
可以推測 的表達式，由此計算 _________.
（二）選考題（請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑. 如果全選，則按第15題作答結果計分.）
15．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓 上一點 在直徑 上的射影為 ，點 在半徑 上的射影為 ．若 ，則 的值為_________．
16．（選修4-4：坐標系與參數方程）
在直角坐標系 中，橢圓 的參數方程為 （ 為參數， ）. 在
極坐標系（與直角坐標系 取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸
為極軸）中，直線 與圓 的極坐標方程分別為 （m為非零常數）
與 . 若直線 經過橢圓 的焦點，且與圓 相切，則橢圓 的離心率為_________.
三、解答題：本大題共6小題，共75分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（本小題滿分12分）
在△ 中，角 ， ， 對應的邊分別是 ， ， . 已知 .
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）若△ 的面積 ， ，求 的值.
18．（本小題滿分12分）
已知等比數列 滿足： ， .
（Ⅰ）求數列 的通項公式；
（Ⅱ）是否存在正整數 ，使得 ？若存在，求 的最小值；若不存在，說明理由.
19．（本小題滿分12分）
如圖， 是圓 的直徑，點 是圓 上異于 的點，直線 平面 ， ，
分別是 ， 的中點.
（Ⅰ）記平面 與平面 的交線為 ，試判斷直線 與平面 的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中的直線l與圓 的另一個交點為 ，且點Q滿足 . 記直線 與平面 所成的角為 ，異面直線 與 所成的角為 ，二面角 的大小為 ，求證： .
20．（本小題滿分12分）
假設每天從甲地去乙地的旅客人數 是服從正態分布 的隨機變量. 記一天中從甲地去乙地的旅客人數不超過900的概率為 .
（Ⅰ）求 的值；
（參考數據：若 ～ ，有 ， ， .）
（Ⅱ）某客運公司用 、 兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業務，每車每天往返一次. 、 兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛. 公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求 型車不多于 型車7輛. 若每天要以不小于 的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備 型車、 型車各多少輛?
21．（本小題滿分13分）
如圖，已知橢圓 與 的中心在坐標原點 ，長軸均為 且在 軸上，短軸長分別
為 ， ，過原點且不與 軸重合的直線 與 ， 的四個交點按縱坐標從
大到小依次為A，B，C，D．記 ，△ 和△ 的面積分別為 和 .
（Ⅰ）當直線 與 軸重合時，若 ，求 的值；
（Ⅱ）當 變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得 ？并說明理由．
22．（本小題滿分14分）
設 是正整數， 為正有理數.
（Ⅰ）求函數 的最小值；
（Ⅱ）證明： ；
（Ⅲ）設 ，記 為不小于 的最小整數，例如 ， ， .
令 ，求 的值.
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