文 科 數 學
本試卷分第Ⅰ卷（）和第Ⅱ卷(非)兩部分, 共150分. 考試用時120分鐘. 第Ⅰ卷1至2頁, 第Ⅱ卷3至5頁.
答卷前, 考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上, 并在規定位置粘貼考試用條形碼. 答卷時, 考生務必將答案?寫在答題卡上, 答在試卷上的無效. 考試結束后, 將本試卷和答題卡一并交回.
祝各位考生考試順利!
第Ⅰ卷
注意事項：
1.每小題選出答案后, 用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑. 如需改動, 用橡皮擦干凈后, 再選?其他答案標號.
2.本卷共8小題, 每小題5分, 共40分.
參考公式:
?如果事件A, B互斥, 那么
?棱柱的體積公式V = Sh，
其中S表示棱柱的底面面積, h表示棱柱的高.
?如果事件A, B相互獨立, 那么
?球的體積公式
其中R表示球的半徑.
一．選擇題: 在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.
(1) 已知集合A = {x∈R x≤2}, B = {x∈R x≤1}, 則
(A) (B) [1,2](C) [－2,2](D) [－2,1]
(2) 設變量x, y滿足約束條件 則目標函數z = y－2x的最小值為
(A) －7(B) －4
(C) 1(D) 2
(3) 右邊的程序框圖, 運行相應的程序, 則輸出n的值為
(A) 7(B) 6
(C) 5(D) 4
(4) 設 , 則 “ ”是“ ”的
(A) 充分而不必要條件
(B) 必要而不充分條件
(C) 充要條件
(D) 既不充分也不必要條件
(5) 已知過點P(2,2) 的直線與圓 相切, 且與直線 垂直, 則
(A) (B) 1
(C) 2(D)
(6) 函數 在區間 上的最小值是
(A) (B)
(C) (D) 0
(7) 已知函數 是定義在R上的偶函數, 且在區間 上單調遞增. 若實數a滿足 , 則a的取值范圍是
(A) (B)
(C) (D)
(8) 設函數 . 若實數a, b滿足 , 則
(A) (B)
(C) (D)
2013年普通高等學校招生全國統一考試(天津卷)
文 科 數 學
第Ⅱ卷
注意事項：
1. 用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.
2. 本卷共12小題, 共110分.
二．題: 本大題共6小題, 每小題5分, 共30分.
(9) i是虛數單位. 復數(3 + i)(1－2i) = .
(10) 已知一個正方體的所有頂點在一個球面上. 若球的體積為 , 則正方體的棱長為 .
(11) 已知拋物線 的準線過雙曲線 的一個焦點, 且雙曲線的離心率為2, 則該雙曲線的方程為 .
(12) 在平行四邊形ABCD中, AD = 1, , E為CD的中點. 若 , 則AB的長為 .
(13) 如圖, 在圓內接梯形ABCD中, AB//DC, 過點A作圓的切線與CB的延長線交于點E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 則弦BD的長為 .
(14) 設a + b = 2, b>0, 則 的最小值為 .
三．解答題: 本大題共6小題, 共70分. 解答應寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
(15) (本小題滿分13分)
某產品的三個質量指標分別為x, y, z, 用綜合指標S = x + y + z評價該產品的等級. 若S≤4, 則該產品為一等品. 現從一批該產品中, 隨機抽取10件產品作為樣本, 其質量指標列表如下:
產品編號A1A2A3A4A5
質量指標(x, y, z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)
產品編號A6A7A8A9A10
質量指標(x, y, z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)
(Ⅰ) 利用上表提供的樣本數據估計該批產品的一等品率;
(Ⅱ) 在該樣品的一等品中, 隨機抽取2件產品,
(⒈) 用產品編號列出所有可能的結果;
(⒉) 設事件B為 “在取出的2件產品中, 每件產品的綜合指標S都等于4”, 求事件B發生的概率.
(16) (本小題滿分13分)
在△ABC中, 內角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. 已知 , a = 3, .
(Ⅰ) 求b的值;
(Ⅱ) 求 的值.
(17) (本小題滿分13分)
如圖, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 側棱A1A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A1C1的中點.
(Ⅰ) 證明EF//平面A1CD;
(Ⅱ) 證明平面A1CD⊥平面A1ABB1;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A1CD所成角的正弦值.
(18) (本小題滿分13分)
設橢圓 的左焦點為F, 離心率為 , 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為 .
(Ⅰ) 求橢圓的方程;
(Ⅱ) 設A, B分別為橢圓的左,右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若 , 求k的值.
(19) (本小題滿分14分)
已知首項為 的等比數列 的前n項和為 , 且 成等差數列.
(Ⅰ) 求數列 的通項公式;
(Ⅱ) 證明 .
(20) (本小題滿分14分)
設 , 已知函數
(Ⅰ) 證明 在區間(－1,1)內單調遞減, 在區間(1, + ∞)內單調遞增;
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