數 學 試 卷（理科）
一. 題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙上相應編號的空格內直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．
1．方程組 的增廣矩陣為 ．
2．已知集合 ， ，則集合 ．
3. 若 ，且 為實數，則實數 的值為 ．
4. 用二分法研究方程 的近似解 ，借助計算器經過若干次運算得下表：
運算次數1…456…
解的范圍
…
若精確到 ，至少運算 次，則 的值為 ．
5．已知 是夾角為 的兩個單位向量，向量 若 ，
則實數 的值為 ．
6．某工廠對一批產品進行抽樣檢測，根據抽樣檢測后的產品
凈重（單位：克）數據繪制的頻率分布直方圖如圖所示，
已知產品凈重的范圍是區間 ，樣本中凈重在區間
的產品個數是 ，則樣本中凈重在區間
的產品個數是 ．
7. 一個圓錐的底面積為 ，且該圓錐的母線與底面所成的角為 ，則該圓錐的
側面積為 ．
8. 在直角坐標系中，曲線 的參數方程為 （ 為參數），以原點 為極點，以 軸正半軸為
極軸建立極坐標系，在極坐標系中曲線 的極坐標方程為 ，曲線 與 相交于
兩點 、 ，則弦長 等于 .
9. 設雙曲線 的左右頂點分別為 、 ， 為雙曲線右支上一點，且位于第一象限，
直線 、 的斜率分別為 、 ，則 的值為 ．
10. 設 的三個內角 所對的邊長依次為 ，若 的面積為 ，
且 ，則 ．
11. 已知隨機變量 所有的取值為 ，對應的概率依次為 ，若隨機變量 的方差 ，
則 的值是 ．
12. 公差為 ，各項均為正整數的等差數列 中，若 ，則 的最小值
等于 ．
13. 已知 的外接圓的圓心為 ， 則 ．
14．設 是定義在 上的函數，若 ，且對任意的 ，滿足
二. （本大題滿分20分）本大題共有4題，每題只有一個正確答案.考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．
15．二項式 展開式中 的系數為 ( )
（A） ． （B） ． （C） ． （D） ．
16．在 中，“ ”是“ 是鈍角三角形”的 ( )
（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件
17．設函數 ，則函數 的最小值是 ( )
（A） ． （B）0． （C） ． （D） ．
18．給出下列四個命題：
① 如果復數 滿足 ，則復數 在復平面上所對應點的軌跡是橢圓．
② 設 是定義在 上的函數，且對任意的 ， 恒成立，則 是 上的
奇函數或偶函數．
③ 已知曲線 和兩定點 ，若 是 上的動點，
則 ．
④ 設定義在 上的兩個函數 、 都有最小值，且對任意的 ，命題“ 或
”正確，則 的最小值為正數或 的最小值為正數．
上述命題中錯誤的個數是 （ ）
（A）1． （B）2． （C）3． （D）4．
三. 解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規定區域內寫出必要的步驟．
19．（本題滿分12分）本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分6分．
如圖，在半徑為 的半圓形（ 為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料 ，其中點 、
在直徑上，點 、 在圓周上．
（1）請你在下列兩個小題中選擇一題作答即可：
①設 ，矩形 的面積為 ，求 的表達式，并寫出 的范圍．
②設 ，矩形 的面積為 ，求 的表達式，并寫出 的范圍．
（2）怎樣截取才能使截得的矩形 的面積最大？并求最大面積．
20．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第(1)小題滿分7分，第(2)小題滿分7分．
如圖，在直三棱柱 中， ， ， ，點 分別在棱 上，且 ．
（1）求四棱錐 的體積；
（2）求 所在半平面與 所在半平面所成二面角 的余弦值．
21．（本題滿分14分）本題共有2個小題，第(1)小題滿分6分，第(2)小題滿分8分．
已知橢圓 的中心在坐標原點 ，焦點在坐標軸上，且經過 兩點，
是 上的動點．
（1）求 的最大值；
（2）若平行于 的直線 在 軸上的截距為 ，直線 交橢圓 于兩個不同點 ，
求證：直線 與直線 的傾斜角互補．
22．（本題滿分16分）本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分6分．
已知 ．
（1）當 時，判斷 的奇偶性，并說明理由；
（2）當 時，若 ，求 的值；
（3）若 ，且對任何 不等式 恒成立，求實數 的取值范圍．
23．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第(1)小題滿分4分，第(2)小題滿分6分，第(3)小題滿分8分．
如圖，過坐標原點 作傾斜角為 的直線交拋物線 于 點，過 點作傾斜角為 的直線交 軸于 點，交 于 點；過 點作傾斜角為 的直線交 軸于 點，交 于 點；過 點作傾斜角為 的直線，交 軸于 點，交 于 點；如此下去……．又設線段 的長分別為 ，
的面積分別為 數列 的前 項的和為 ．
（1）求 ；
（2）求 ， ；
（3）設 ，數列 的前 項和為 ，
對于正整數 ，若 ，且 ，
試比較 與 的大�。�
閔行區2014學年第二學期高三年級質量調研考試數學試卷
參考答案與評分標準
一、（第1題至第14題）
1． ； 2． ； 3． ； 4．5.3； 5． ； 6．44； 7． ； 8． ； 9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ； 14． ．
二、（第15題至第18題） 15．D； 16．A； 17．B； 18．D．
三、（第19題至第23題）
19. [解]①由 ，得 ，其中 2分
所以
即 ， ………………………………4分
②連接 ，則 ……………………2分
所以
即 ． ……………………4分
（2）①由
得當 即當 時， 取最大值 ．…… 4分
此時 ，
當 取 時，矩形 的面積最大，最大面積為 ．… 2分
② ，
當且僅當 ，即 時， 取最大值 ．……4分，
當 取 時，矩形 的面積最大，最大面積為 ．… 2分
20.[解]（1） ……7分
（2）建立如圖所示的直角坐標系，則 , , , ，
, ……………………2分
設平面 的法向量為 ，則 ，
所以 ……………………………2分
平面 的法向量為 ，則
所以 所在半平面與 所在半平面所成二面角 的余弦值為 ．…3分
21. [解]（1）設橢圓 的方程為
將 代入橢圓 的方程，得 ………2分
解得 ，所以橢圓 的方程為 …………2分
設點 的坐標為 ，則 ．
又 是 上的動點，所以 ，得 ，代入上式得
，
故 時， ． 的最大值為 ． ………………2分
（2）因為直線 平行于 ，且在 軸上的截距為 ，又 ，所以直線 的方程為 ．
由 得 ………………2分
設 、 ，則 ．又
故 ．……… 2分
又 ，所以上式分子 ………2分
故 ．
所以直線 與直線 的傾斜角互補．…………………………………2分
22. [解]（1）當 時， 既不是奇函數也不是偶函數．……2分
∵ ，∴
所以 既不是奇函數，也不是偶函數．………………………………………2分
（2）當 時， ，
由 得 ……………………………2分
即 或 ………………………2分
解得
所以 或 ． ………………2分
（3）當 時， 取任意實數，不等式 恒成立，
故只需考慮 ，此時原不等式變為
即 ………………………………………………………2分
故
又函數 在 上單調遞增，所以 ；
對于函數
①當 時，在 上 單調遞減， ，又 ，
所以，此時 的取值范圍是 ． ……………………………………2分
②當 ，在 上， ，
當 時， ，此時要使 存在，
必須有 即 ，此時 的取值范圍是
綜上，當 時， 的取值范圍是 ；當 時， 的取值范圍是 ；
當 時， 的取值范圍是 ． ……………………………2分
23. [解] （1）如圖，由 是邊長為 的等邊三角形，得點 的坐標為 ，又 在拋物線 上，所以 ，得 ………………2分
同理 在拋物線 上，得 ………………2分
（2）如圖，法1：點 的坐標為 ，即點 ，所以直線 的方程為 或 ，
因此，點 的坐標滿足
消去 得 ， 所以
又 ，故
從而 ……① ……………………………………………2分
由①有 ……②
②-①得
即 ，又 ，于是
所以 是以 為首項、 為公差的等差數， …………2分
， ……………………2分
法2：點 的坐標為 ，即點 ，
所以直線 的方程為 或
因此，點 的坐標滿足 消去 得 ，
又 ，所以 ，從而 …① ……2分
以下各步同法1
法3：點 的坐標為 ，
即點 ，所以 ，
又 在拋物線 上，得 ,即 ……………2分
以下各步同法1
（3）因為 ，所以數列 是正項等比數列，且公比 ，首項 ，
則 ， ， ， …… 2分
= （注意 ）
………………………… 2分
而
（注意 ）
……………………… 2分
因為 ，所以 ,又 均為正整數，所以 與 同號，
故 ，所以， ．………………… 2分
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