2013年海淀區高三年級第二學期期中練習
數 學 （文科）
2013.4
本試卷共4頁，150分。考試時長120分鐘。考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上
作答無效。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1. 集合 ，則
A. B. C. D.
2.等差數列 中, 則 的值為
A. B. C. 21 D.27
3. 某程序的框圖如圖所示，執行該程序，若輸入的 值為5，則輸出的 值為
Ａ. B. C. D.
4. 已知 ，下列函數中，在區間 上一定是減函數的是
Ａ. B.
C. D.
5. 不等式組 表示面積為1的直角三角形區域，則 的值為
A. B. 1 C. 2 D.3
6. 命題 ；
命題 雙曲線 的離心率為 .
則下面結論正確的是
A. 是假命題 B. 是真命題C. 是假命題 D. 是真命題
7.已知曲線 在點 處的切線經過點 ，則 的值為
Ａ. B. C. D.
8. 拋物線 的焦點為 ，點 為拋物線上的動點，點 為其準線上的動點，當 為等邊三角形時，其面積為
A. B. 4 C. 6 D.
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 在復平面上，若復數 （ ）對應的點恰好在實軸上，則 =_______.
10.若向量 滿足 ，則 的值為______.
11.某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積為______.
12.在 中，若 ，則
13.已知函數 有三個不同的零點，則實數 的取
值范圍是_____.
14.已知函數 ，任取 ，定義集合:
，點 ， 滿足 . 設 分別表示集合
中元素的最大值和最小值，記 .則
(1) 若函數 ，則 =______;
（2）若函數 ，則 的最小正周期為______.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15. （本小題滿分13分）
已知函數 .
（Ⅰ）求 的值和 的最小正周期；
（Ⅱ）求函數在區間 上的最大值和最小值.
16. （本小題滿分13分）
在某大學自主招生考試中，所有選報II類志向的考生全部參加了“數學與邏輯”和“與表達”兩個科目的考試，成績分為A,B,C,D,E五個等級. 某考場考生的兩科考試成績的數據統計如下圖所示，其中“數學與邏輯”科目的成績為B的考生有10人.
（I）求該考場考生中“與表達”科目中成績為A的人數；
（II）若等級A，B，C，D，E分別對應5分，4分，3分，2分，1分，求該考場考生“數學與邏輯”科目的平均分；
（Ⅲ）已知參加本考場測試的考生中，恰有兩人的兩科成績均為A. 在至少一科成績為A的考生中，隨機抽取兩人進行訪談，求這兩人的兩科成績均為A的概率.
17. （本小題滿分14分）
在四棱錐 中， 平面 ， 是正三角形， 與 的交點 恰好是 中點，又 ， ，點 在線段 上，且 ．
（Ⅰ）求證： ；
（Ⅱ）求證： 平面 ；
（Ⅲ）設平面 平面 = ，試問直線 是否與直線 平行，請說明理由.
18. （本小題滿分13分）
函數 ,其中實數 為常數.
(I) 當 時，求函數的單調區間；
(II) 若曲線 與直線 只有一個交點，求實數 的取值范圍.
19. （本小題滿分14分）
已知圓 ： ,若橢圓 ： （ ）的右頂點為圓 的圓心，離心率為 .
（I）求橢圓 的方程；
（II）已知直線 ： ，若直線 與橢圓 分別交于 ， 兩點，與圓 分別交于 ， 兩點（其中點 在線段 上），且 ，求 的值.
20. （本小題滿分13分）
設 為平面直角坐標系上的兩點，其中 .令 ， ，若 ,且 ，則稱點 為點 的“相關點”，記作： .
（Ⅰ）請問：點 的“相關點”有幾個？判斷這些點是否在同一個圓上，若在，寫出圓的方程；若不在，說明理由；
（Ⅱ）已知點 ，若點 滿足 ，求點 的坐標；
（Ⅲ）已知 為一個定點，點列 滿足： 其中 ，求 的最小值.


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