數 學 （理科） 2013.5
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r長120分鐘�？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上
作答無效�？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.集合 ， ，則
A． B． C． D．
2.已知數列 是公比為 的等比數列，且 ， ，則 的值為
A． B． C． 或 D． 或
3. 如圖，在邊長為 的正方形內有不規則圖形 . 向正方形內隨機撒豆子，若
撒在圖形 內和正方形內的豆子數分別為 ，則圖形 面積的估計值為
A. B. C. D.
4.某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為
A. B.
C. D.
5.在四邊形 中，“ ，使得 ”是“四邊形 為平行四邊形”的
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
6.用數字1，2，3，4，5組成沒有重復數字的五位數，且5不排在百位，2，4都不排在個位和萬位，則這樣的五位數個數為
A. B. C. D.
7.雙曲線 的左右焦點分別為 ，且 恰為拋物線 的焦點，設雙曲線 與該拋物線的一個交點為 ，若 是以 為底邊的等腰三角形，則雙曲線 的離心率為
A. B. C. D.
8. 若數列 滿足：存在正整數 ，對于任意正整數 都有 成立，則稱數列 為周期數列，周期為 . 已知數列 滿足 ，
則下列結論中錯誤的是
A. 若 ，則 可以取3個不同的值
B. 若 ，則數列 是周期為 的數列
C. 且 ，存在 ， 是周期為 的數列
D. 且 ，數列 是周期數列
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 在極坐標系中，極點到直線 的距離為_______.
10.已知 ，則 按照從大到小排列為______.
11.直線 過點 且傾斜角為 ，直線 過點 且與直線 垂直，則直線 與直線 的交點坐標為____.
12.在 中， ，則
13.正方體 的棱長為 ，若動點 在線段 上運動，則 的取值范圍是______________.
14.在平面直角坐標系中，動點 到兩條坐標軸的距離之和等于它到點 的距離，記點 的軌跡為曲線 .
(I) 給出下列三個結論：
①曲線 關于原點對稱；
②曲線 關于直線 對稱；
③曲線 與 軸非負半軸， 軸非負半軸圍成的封閉圖形的面積小于 ；
其中，所有正確結論的序號是_____;
(Ⅱ)曲線 上的點到原點距離的最小值為______.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.（本小題滿分13分）
已知函數 .
（Ⅰ）求函數 的定義域；
(Ⅱ) 求函數 的單調遞增區間.
16.（本小題滿分13分）
福彩中心發行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業,現在福彩中心準備發行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設計方案如下：（1）該福利彩票中獎率為50%；（2）每張中獎彩票的中獎獎金有5元，50元和150元三種；（3）顧客購買一張彩票獲得150元獎金的概率為 ，獲得50元獎金的概率為 .
(I) 假設某顧客一次性花10元購買兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎的概率；
（II）為了能夠籌得資金資助福利事業, 求 的取值范圍.
17. （本小題滿分14分）
如圖1，在直角梯形 中， ， ， ，
. 把 沿對角線 折起到 的位置,如圖2所示,使得點 在平面 上的正投影 恰好落在線段 上，連接 ,點 分別為線段 的中點．
(I) 求證：平面 平面 ；
(II) 求直線 與平面 所成角的正弦值；
(III)在棱 上是否存在一點 ,使得 到點 四點的距離相等？請說明理由.
18. （本小題滿分13分）
已知函數 ,點 為一定點,直線 分別與函數 的圖象和 軸交于點 , ,記 的面積為 .
（I）當 時,求函數 的單調區間；
（II）當 時, 若 ,使得 , 求實數 的取值范圍.
19. （本小題滿分14分）
已知橢圓 的四個頂點恰好是一邊長為2，一內角為 的菱形的四個頂點.
（I）求橢圓 的方程；
（II）直線 與橢圓 交于 ， 兩點，且線段 的垂直平分線經過點 ，求
（ 為原點）面積的最大值.
20. （本小題滿分13分）
123
101
設 是由 個實數組成的 行 列的數表，如果某一行（或某一列）各數之和為負數，則改變該行（或該列）中所有數的符號，稱為一次“操作”.
(Ⅰ) 數表 如表1所示，若經過兩次“操作”，使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負實數，請寫出每次“操作”后所得的數表（寫出一種方法即可）； 表1
(Ⅱ) 數表 如表2所示，若必須經過兩次“操作”，才可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數，求整數 的所有可能值；
(Ⅲ)對由 個實數組成的 行 列的任意一個數表 ，
能否經過有限次“操作”以后，使得到的數表每行的各數之 表2
和與每列的各數之和均為非負整數？請說明理由.
海淀區高三年級第二學期期末練習
數 學 （理科）
參考答案及評分標準 2013.5
一、（本大題共8小題,每小題5分,共40分）
題號12345678
答案BDCBCABD
9． 2 10．
11.
12．
13．
14．②③;
二、題（本大題共6小題,每小題5分, 有兩空的小題，第一空3分，第二空2分，
共30分）
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15．（本小題滿分13分）
解：（I）因為
所以 ……………………2分
所以函數的定義域為 ……………………4分
（II）因為 ……………………6分
……………………8分
又 的單調遞增區間為 ，
令
解得 ……………………11分
又注意到
所以 的單調遞增區間為 ， …………………13分
16. 解：（I）設至少一張中獎為事件
則 …………………4分
(II) 設福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為
則 可以取 …………………6分
的分布列為
…………………8分
所以 的期望為
…………………11分
所以當 時，即 …………………12分
所以當 時，福彩中心可以獲取資金資助福利事業…………………13分17.解：（I）因為點 在平面 上的正投影 恰好落在線段 上
所以 平面 ，所以 …………………1分
因為在直角梯形 中， ， ，
，
所以 ， ，所以 是等邊三角形，
所以 是 中點， …………………2分
所以 …………………3分
同理可證
又
所以平面 平面 …………………5分
（II）在平面 內過 作 的垂線
如圖建立空間直角坐標系，
則 ， ， …………………6分
因為 ，
設平面 的法向量為
因為 ，
所以有 ，即 ，
令 則 所以 …………………8分
…………………10分
所以直線 與平面 所成角的正弦值為 …………………11分
(III)存在，事實上記點 為 即可 …………………12分
因為在直角三角形 中， ， …………………13分
在直角三角形 中，點
所以點 到四個點 的距離相等 …………………14分
18.解: (I) 因為 ，其中 …………………2分
當 ， ，其中
當 時， ， ，
所以 ，所以 在 上遞增， …………………4分
當 時， ， ，
令 ， 解得 ，所以 在 上遞增
令 ， 解得 ，所以 在 上遞減 ……………7分
綜上， 的單調遞增區間為 ，
的單調遞增區間為
（II）因為 ，其中
當 ， 時，
因為 ，使得 ，所以 在 上的最大值一定大于等于
，令 ，得 …………………8分
當 時，即 時
對 成立， 單調遞增
所以當 時， 取得最大值
令 ，解得 ，
所以 …………………10分
當 時，即 時
對 成立， 單調遞增
對 成立， 單調遞減
所以當 時， 取得最大值
令 ，解得
所以 …………………12分
綜上所述， …………………13分
19.解:(I)因為橢圓 的四個頂點恰好是一邊長為2，
一內角為 的菱形的四個頂點,
所以 ,橢圓 的方程為 …………………4分
(II)設 因為 的垂直平分線通過點 ， 顯然直線 有斜率，
當直線 的斜率為 時,則 的垂直平分線為 軸,則
所以
因為 ，
所以 ，當且僅當 時， 取得最大值為 ………………7分
當直線 的斜率不為 時,則設 的方程為
所以 ，代入得到
當 , 即
方程有兩個不同的解
又 ， …………………8分
所以 ，
又 ，化簡得到
代入 ，得到 …………………10分
又原點到直線的距離為
所以
化簡得到 …………………12分
因為 ，所以當 時，即 時， 取得最大值
綜上， 面積的最大值為 …………………14分
20.（I）解：法1：
法2： …………………3分
(II) 每一列所有數之和分別為2，0， ，0，每一行所有數之和分別為 ，1;
①如果首先操作第三列，則
則第一行之和為 ，第二行之和為 ，
這兩個數中，必須有一個為負數，另外一個為非負數，
所以 或
當 時，則接下來只能操作第一行，
此時每列之和分別為
必有 ，解得
當 時，則接下來操作第二行
此時第4列和為負，不符合題意. …………………6分
② 如果首先操作第一行
則每一列之和分別為 ， ， ，
當 時，每列各數之和已經非負，不需要進行第二次操作，舍掉
當 時， ， 至少有一個為負數，
所以此時必須有 ，即 ，所以 或
經檢驗， 或 符合要求
綜上： …………………9分
（III）能經過有限次操作以后，使得得到的數表所有的行和與所有的列和均為非負實數。證明如下：
記數表中第 行第 列的實數為 （ ），各行的數字之和分別為 ，各列的數字之和分別為 ， ， ，數表中 個實數之和為 ，則 。記
．
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