豐臺區2013年高三第二學期統一練習（二）
數學（理科）
第一部分（ 共40分）
一 、共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.
1. 復數 的虛部為
（A）3 （B） （C）4 （D）
2. 設向量a=(x,1), b=(4,x),且a,b方向相反，則x的值是
（A）2 （B）-2 （C） （D）0
3. 展開式中的常數項是
（A）6 （B）4 （C）-4 （D）-6
4. 已知數列{an}， 則“{an}為等差數列”是“a1+a3=2a2”的
（A）充要條件 （B）必要而不充分條件
（C）充分而不必要條件 （D）既不充分又不必要條件
5. 下列四個函數中，最小正周期為 ，且圖象關于直線 對稱的是
（A） （B）
（C） （D）
6. 在平面區域 內任取一點 ，若 滿足 的概率大于 ，則 的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
7. 用5,6,7,8,9組成沒有重復數字的五位數，其中兩個偶數數字之間恰有一個奇數數字的五位數的個數是
(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72
8. 已知偶函數f(x)（x∈R），當 時，f(x)=-x(2+x)，當 時，f(x)=(x-2)(a-x)（ ）.
關于偶函數f(x)的圖象G和直線 :y=m（ ）的3個命題如下：
①當a=4時，存在直線 與圖象G恰有5個公共點；
②若對于 ，直線 與圖象G的公共點不超過4個，則a≤2；
③ ，使得直線 與圖象G交于4個點，且相鄰點之間的距離相等.
其中正確命題的序號是
(A) ①② (B) ①③ (C) ②③ (D) ①②③
第二部分（非選擇題 共110分）
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 圓 的半徑是________。
10.已知變量 具有線性相關關系，測得 的一組數據如下： ，其回歸方程為 ，則 的值是 。
11.如圖，已知⊙O的弦AB交半徑OC于點D,若AD=4,BD=3,OC=4,則CD的長為______。
12.若雙曲線C: 的離心率為 ,則拋物線 的焦點到C的漸近線距離是______。
13.曲線 在 處的切線方程是______，在x=x0處的切線與直線 和y軸圍成三角形的面積為 。
14.在圓 上有一點P(4,3)，點E,F是y軸上兩點，且滿足 ,直線PE，PF與圓交于C，D，則直線CD的斜率是________。
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本小題13分） 已知 的三個內角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
16（本小題13分）國家對空氣質量的分級規定如下表：
污染指數0~5051~100101~150151~200201~300>300
空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染
某市去年6月份30天的空氣污染指數的監測數據如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根據以上信息，解決下列問題：
（Ⅰ）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人計劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（Ⅰ）中的頻率作為概率，他遇到空氣質量為優或良的天數用X表示，求X的分布列和均值EX.
頻率分布表
分組頻數頻率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合計301
17. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上， 于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））.
（Ⅰ）求證：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長.
圖（1） 圖（2）
18.（本小題13分）已知函數 .
（Ⅰ）當 時，求函數f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，討論 的單調性.
19.（本小題14分）已知橢圓C： 的短軸的端點分別為A,B,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m, ) 滿足 ，且 .
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點E,F的坐標；
（Ⅲ）若?BME面積是?AMF面積的5倍，求m的值.
20.（本小題14分）已知等差數列 的通項公式為an=3n-2，等比數列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構成數列 .
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式，并寫出數列 的前4項；
（Ⅱ）把集合 中的元素從小到大依次排列構成數列 ，求數列 的通項公式，并說明理由；
（Ⅲ）求數列 的前n項和
豐臺區2013年高三第二學期統一練習（二）
數學（理科）
一 、選擇題共8小題，每小題5分，共40分.
題號12345678
答案ABACC DBD
二、題共6小題，每小題5分，共30分.
9. 1； 10. 0.9； 11. 2； 12. ； 13. 3x+y-4=0, 2； 14. .
三、解答題共6小題，共80分.解答要寫出文字說明，演算步驟或證明過程.
15．（本小題13分） 已知 的三個內角分別為A,B,C,且
（Ⅰ）求A的度數；
（Ⅱ）若 求 的面積S.
, ……………………….2分
, ……………………….4分
°. …………………….6分
（Ⅱ）在 中, ,
或 (舍),………….10分
. …………………….13分
16（本小題13分）國家對空氣質量的分級規定如下表：
污染指數0~5051~100101~150151~200201~300>300
空氣質量優良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染
某市去年6月份30天的空氣污染指數的監測數據如下：
3414018731212104045782365792078160
421013816315422273615149103135201648
根據以上信息，解決下列問題：
（Ⅰ）寫出下面頻率分布表中a,b,x,y的值；
（Ⅱ）某人計劃今年6月份到此城市觀光4天，若將（Ⅰ）中的頻率作為概率，他遇到空氣質量為優或良的天數用X表示，求X的分布列和均值EX.
頻率分布表
分組頻數頻率
[0,50] 14
(50,100] ax
(100,150]5
(150,200]by
(200,250]2
合計301
解：（Ⅰ） , ………………………….4分
（Ⅱ）由題意，該市4月份空氣質量為優或良的概率為P= ，………..5分
. ………………………….10分
的分布列為:
X01234
………………………….11分
X~B(4， ), . ………………………….13分
17. （本小題13分）如圖(1)，等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上， 于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））.
（Ⅰ）求證：PB DE；
（Ⅱ）若PE BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE的長.
圖（1） 圖（2）
解: （Ⅰ） ， ,DE PE, ……………….2分
， DE 平面PEB,
, BP DE; ……………………….4分
（Ⅱ） PE BE， PE DE， ,所以，可由DE,BE,PE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖），……………………………………………………………5分
設PE=a，則B(0,4-a ,0),D(a,0,0)，C(2,2-a,0),P(0,0,a)，……………………7分
， ,……………………8分
設面PBC的法向量 ,
令 , , …………10分 …………….10分
, ……………………….12分
BC與平面PCD所成角為30°,
. ……………………….11分
，
解得：a= ,或a=4(舍)，所以，PE的長為 .……………………….13分
18.（本小題13分）已知函數 .
（Ⅰ）當 時，求函數f(x)在[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a>0，討論 的單調性.
解：（Ⅰ） 的定義域為 , ……………………….1分
當 時， ……………………….2分
令 在[1,e]上得極值點
x 2
……………………….4分
……………………….5分
. ………………….7分
（Ⅱ） ， ……………………….8分
① 時，由 >0得0 ,所以f(x)的單調增區間是(0,2), ,
由 <0得2② 時， 在（0，+?）上恒成立，且當且僅當 ，
在（0，+?）單調遞增； ……………………….11分
③當 時，由 >0得02,所以f(x)的單調增區間是(0, ), ,
由 <0得 19.（本小題14分）已知橢圓C： 的短軸的端點分別為A,B（如圖）,直線AM,BM分別與橢圓C交于E,F兩點，其中點M (m, ) 滿足 ，且 .
（Ⅰ）求橢圓C的離心率e；
（Ⅱ）用m表示點E,F的坐標；
（Ⅲ）若?BME面積是?AMF面積的5倍，求m的值.
解：（Ⅰ）依題意知 , , ; ……………………… 3分
（Ⅱ） ,M (m, )，且 ， ………………………4分
直線AM的斜率為k1= ,直線BM斜率為k2= ,
直線AM的方程為y= ,直線BM的方程為y= , ……………6分
由 得 ，
………………………8分
由 得 ，
； ………………………10分
（Ⅲ） , , ,
, ， , ………………..12分
，
整理方程得 ，即 ，
又 ， ， ， 為所求. ………………14分
20.（本小題14分）已知等差數列 的通項公式為an=3n-2，等比數列 中， .記集合 ， ，把集合U中的元素按從小到大依次排列，構成數列 .
（Ⅰ）求數列{bn}的通項公式，并寫出數列 的前4項；
（Ⅱ）把集合 中的元素從小到大依次排列構成數列 ，求數列 的通項公式，并說明理由；
（Ⅲ）求數列 的前n項和
解：（Ⅰ）設等比數列 的公比為q，
，則q3=8， q=2， bn=2n-1， ………………..2分
數列 的前4項為1,4,7,10，數列{bn}的前4項為1,2,4,8，
數列 的前4項為1，2，4，7； ………………..3分
（Ⅱ）據集合B中元素2，8，32，128 A，猜測數列 的通項公式為dn =22n-1.
………………..4分
dn=b2n ， 只需證明數列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A（ ）.
證明如下：
b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即b2n+1=b2n-1+3×4n-1，
若 m∈N*,使b2n-1=3m-2，那么b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2，所以，若b2n-1∈A，則b2n+1∈A.因為b1∈A，重復使用上述結論，即得b2n-1∈A（ ）。
同理，b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即b2n+2=b2n+3×2×4n-1，因為“3×2×4n-1” 數列 的公差3的整數倍，所以說明b2n 與b2n+2 同時屬于A或同時不屬于A，
當n=1時，顯然b2=2 A，即有b4=2 A，重復使用上述結論，
即得b2n A， dn =22n-1； ………………………………………8分
（Ⅲ）（1）當n=1時，所以因為 ，所以S1=1； ………………..9分
（2）當n≥2時，由（Ⅱ）知，數列{bn}中，b2n-1∈A，b2n A，則 ，且k . ……………….. 11分
下面討論正整數k與n的關系：
數列 中的第n項不外如下兩種情況：
① 或者② ，
若①成立，即有 ，
若②成立，即有 ，
有 或者 ，
顯然 = N*，所以 .
綜上所述， .


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