房山區2013年高考第一次模擬試卷
數 學 （文科） 2013.04
本試卷共4頁，150分�？荚嚂r間長120分鐘�？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效�？荚嚱Y束后，將答題卡交回。
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.已知全集 ，集合 ，則
2.已知 為等差數列， 為其前 項和.若 ，則
3.執行如圖所示的程序框圖．若輸出 ， 則框圖中
① 處可以填入
4.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的統計表如下表所示，則
環數45678環數569
頻數11111頻數311
甲 乙
A.甲成績的平均數小于乙成績的平均數B. 甲成績的中位數等于乙成績的中位數
C.甲成績的方差小于乙成績的方差D. 甲成績的極差小于乙成績的極差
5. “ ”是“函數 存在零點”的
A. 充分但不必要條件B. 必要但不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
6.在正三角形 中， ， 是 上一點，且 ，則
A.
B.
C.
D.
7.某三棱椎的三視圖如圖所示，該三棱錐
的四個面的面積中，最大的是
A.
B.
C.
D.
8.設集合 是 的子集，如果點 滿足： ，稱 為
集合 的聚點.則下列集合中以 為聚點的有：
① ； ② ； ③ ； ④
A.②③B. ②④C. ①③D. ①③④
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 復數 .
10.在△ABC中，角 所對的邊分別為 ， 則角 的大小
為 .
11.直線 與圓 相交于 兩點，則線段 的長等于 .
12.若不等式組 表示的平面區域是一個銳角三角形，則 的取值范是 .
13.某商品在最近 天內的單價 與時間 的函數關系是
日銷售量 與時間 的函數關系是 .則這種商品
的日銷售額的最大值為 .
14.已知函數 的定義域是D，若對于任意 ，當 時，都有 ，
則稱函數 在D上為非減函數.設函數 在 上為非減函數，且滿足以下三個
條件：① ； ② ； ③ .則 ，
.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明, 演算步驟或證明過程.
15.(本小題滿分13分)
已知函數 ．
（Ⅰ）求函數 的最小正周期；
（Ⅱ）求函數 在區間 上的最小值和最大值．
16. （本小題滿分14分）
在四棱錐 中，底面 為直角梯形， // ，
， ， ， 為
的中點．
（Ⅰ）求證：PA//平面BEF；
（Ⅱ）求證： ．
17. （本小題滿分13分）
日均值(微克/立方米)
33
481
793
97
是指大氣中直徑小于或等于 微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．我國 標準采用世衛組織設定的最寬限值，即 日均值在 微克/立方米以下空氣質量為一級；在 微克/立方米 微克/立方米之間空氣質量為二級；在 微克/立方米以上空氣質量為超標．
某城市環保局從該市市區 年全年每天的 監測數據中隨機的抽取 天的數據作為樣本，監測值如莖葉圖所示（十位為莖，個位為葉）．
(Ⅰ) 若從這 天的數據中隨機抽出 天，求至多有一天空氣質量超標的概率；
(Ⅱ)根據這 天的 日均值來估計一年的空氣質量情況，則一年（按 天計算）中平均有多少天的空氣質量達到一級或二級？
18. (本小題滿分13分)
已知函數 .
（Ⅰ）當 時，求曲線 在點 處的切線方程；
（Ⅱ）求函數 的單調區間；
（Ⅲ）若對任意的 ，都有 成立，求a的取值范圍.
19. (本小題滿分14分)
已知橢圓 和點 ，垂直于 軸的直線與橢圓 交于 兩點，連結 交橢圓 于另一點 .
（Ⅰ）求橢圓 的焦點坐標和離心率；
（Ⅱ）證明直線 與 軸相交于定點.
20.（本小題滿分13分）
對于實數 ，將滿足“ 且 為整數”的實數 稱為實數 的小數部分，用記號 表示．例如 對于實數 ，無窮數列 滿足如下條件：
， 其中
（Ⅰ）若 ，求數列 的通項公式；
（Ⅱ）當 時，對任意的 ，都有 ，求符合要求的實數 構成的集合 ；
（Ⅲ）設 （ 是正整數， 與 互質），對于大于 的任意正整數 ，是否都有 成立，證明你的結論．
房山區高三年級第一次模擬考試參考答案
數 學 （文科） 2013.04
一、：本大題共8小題,每小題5分,共40分.
1A 2D 3B 4C 5B 6A 7C 8A
二、題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 或 11.
12. 13. 14.
三、解答題: 本大題共6小題,共80分.
15（本小題滿分13分）
（Ⅱ） ………………………………9分
當 時， 此時 …………………………11分
當 時， 此時 …………13分
16（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連接AC交BE于O，并連接EC,FO
// , , 為 中點
AE//BC,且AE=BC
四邊形ABCE為平行四邊形 …………………1分
O為AC中點 ………………………………...2分
又 F為AD中點
// ………………………......….4分
..……..……..5分
// …………………………………………..……..……..7分
17（本小題滿分13分）
解：由莖葉圖可知：6天有4天空氣質量未超標，有2天空氣質量超標………2分
記未超標的4天為 ，超標的兩天為 ，則從6天抽取2天的所有情況為：
，
基本事件總數為15 ……………………………………………………4分
（Ⅰ）記“至多有一天空氣質量超標”為事件 ，則“兩天都超標”為事件 ，
易得 ，
所以 ………………………………9分
（Ⅱ） 天中空氣質量達到一級或二級的頻率為 ……………11分
，
所以估計一年中平均有 天的空氣質量達到一級或二級. ………… 13分
（說明：答243天，244天不扣分）
18（本小題滿分13分）
（Ⅰ） 時， ………………1分
………………………………………………2分
曲線 在點 處的切線方程 ………………3分
（Ⅱ） …………………………………………………4分
①當 時， 恒成立，函數 的遞增區間為
………………………………………………………………6分
②當 時，令 ，解得 或
x( 0, )
( ,1)
f’(x)-+
f(x)減增
所以函數 的遞增區間為 ，遞減區間為
…………………………………………………………………8分
（Ⅲ）對任意的 ，使 成立，只需任意的 ，
①當 時， 在 上是增函數，
所以只需
而
所以 滿足題意； …………………………………………………………………9分
②當 時， ， 在 上是增函數，
所以只需
而
所以 滿足題意；…………………………………………………………………10分
③當 時， ， 在 上是減函數， 上是增函數，
所以只需 即可
而
從而 不滿足題意； …………………………………………………………………12分
綜合①②③實數 的取值范圍為 ．………………………………13分
19（本小題滿分14分）
（Ⅰ）由題意知： 所以
所以，焦點坐標為 ； 離心率 …………………………4分
（Ⅱ）由題意知：直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為
………………………………5分
， ，則 ，
由 得
則 (1) ………………………………8分
直線AE的方程為 ，
令 ，得 (2) ………………………………10分
又 ， 代入(2)式，得 (3)
把(1)代入(3)式，整理得
所以直線AE與 軸相交于定點 . ………………………………14分
20（本小題滿分13分）
（Ⅰ） ， ，
，
所以 ……………………………………4分
（Ⅱ） ， 則 ，從而
則 所以
解得： （ ，舍去） ……………….6分
所以集合 . ………………………………………7分
（Ⅲ）結論成立. ……………………………………………8分
易知 是有理數，所以對一切正整數 ， 為0或正有理數，
設 （ 是非負整數， 是正整數，且 互質）
由 ，可得 ； …………………………………9分
若 ，設 （ ， 是非負整數）
則 ，而由 得
，故 ， ，可得 ………11分
若 則 ，
若 均不為0，則這 個正整數 互不相同且都小于 ，但小于 的正整數共有 個，矛盾.
故 中至少有一個為0，即存在 ，使得 .
從而數列 中 以及它之后的項均為0，
所以對于大于 的自然數 ，都有 …………………………………………13分
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