中山市高三級2013—2014學年度第一學期期末統一考試數學試卷（理科）本試卷共4頁，20小題，滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1、答卷前，考生務必將自己的姓名、統考考號、座位號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上。2、每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在試題上。3、不可以使用計算器。4、考試結束，將答題卡交回，試卷不用上交。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設復數，，則在復平面內對應的點在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．設全集是實數集則圖中陰影部分所表示的集合是 （ ） A．B． C．D．【答案】A【解析】3．已知平面向量，，若∥則等于( )A．B．C．D．4．定義某種運算，運算原理如上圖所示，則式子的值為（ ）A．4B．8C．11D．135．把邊長為的正方形沿對角線折起，使得平面平面，形成三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示，則側視圖的面積為 （ ）A． B． C． D． 【答案】B【解析】試題分析：取的中點，連結，，∵平面⊥平面，∴，∴直角是三棱錐的側視圖，∵=，∴==，∴的面積，故選：B．考點： 1.簡單空間圖形的三視圖6．下列四個命題中，正確的有①兩個變量間的相關系數越小，說明兩變量間的線性相關程度越低；②命題：“，”的否定：“，”；③用相關指數來刻畫回歸效果，若越大，則說明模型的擬合效果越好；④若，，，則．A．①③④B．①④C．③④D．②③7．對、，運算“”、“”定義為：=，=，則下列各式其中不恒成立的是（ ）⑴⑵⑶⑷A．⑴、⑶B．⑵、⑷C．⑴、⑵、⑶D．⑴、⑵、⑶、⑷ 8. 已知函數滿足，且時，，則當時，與的圖象的交點個數為( ) A．13B．12C．11D．10【答案】C【解析】試題分析：∵滿足，且x時，，二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，滿分30分．9．已知函數，則 . 【答案】【解析】試題分析：考點：10．如圖，一不規則區域內，有一邊長為米的正方形，向區域內隨機地撒顆黃豆，數得落在正方形區域內（含邊界）的黃豆數為 375 顆，以此實驗數據為依據可以估計出該不規則圖形的面積為 平方米.（用分數作答）11．在二項式的展開式中，含的項的系數是 ．【答案】10【解析】試題分析：含的項是第三項，系數為.考點： 二項式12．已知,,則 .13．已知數列為等差數列，若，，則 .14．如圖, ，且，若，（其中），則終點落在陰影部分（含邊界）時，的取值范圍是 .【答案】【解析】試題分析：如圖所示①當點P是線段AB的中點時，過點P分別作PE∥OB，PF∥OA，交點分別是點E，F，則點E，F分別是OA，OB的中點．由平行四邊形法則可得： ，又，（其中），∴．當點P位于線段AB上其它位置時，也有此結論．②當點P是線段MN的中點時，連接PA，PB．∵AB∥MN，且2OA=OM，∴B點是線段ON的中點．由平行四邊形法則可得：，此時，當點P位于線段AB上其它位置時，也有此結論．綜上可知：．又，令，化為，可知此直線過定點P（?1，?1）．由約束條件，作出可行域：作直線l：y=x，把此直線上下平移，當l經過點A（2，0）時，t取得最小值，當點l經過點B（0，2）時，t取得最大值．∴．∴，即的取值范圍是．故答案為：．考點： 1、平面向量運算和性質；2.線性規劃三、解答題： 本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．（本題滿分12分）設平面向量，，函數。（Ⅰ）求函數的值域和函數的單調遞增區間;（Ⅱ）當,且時,求的值.根據求出的值域；②根據正弦函數的單調區間為，列出不等式，求出不等式的解集即可得到的取值范圍即為的遞增區間；（Ⅰ） 函數的值域是；………………………………………………（5分）令，解得………………（7分）所以函數的單調增區間為.……………………（8分）（Ⅱ）由得,因為所以得,………………………（10分）……………………………………………………………………（12分）.考點：1. 正弦函數的定義域和值域、正弦函數的單調性；2. 三角函數的恒等變換及化簡求值；3. 平面向量數量積的運算.16．(本題滿分12分)某校從參加高二年級學業水平測試的學生中抽出80名學生，其數學成績（均為整數）的頻率分布直方圖如圖所示．（I）估計這次測試數學成績的平均分；（II）假設在[90，100]段的學生的數學成績都不相同，且都超過94分．若將頻率視為概率，現用簡單隨機抽樣的方法，從95，96，97，98，99，100這6個數中任意抽取2個數，有放回地抽取了3次，記這3次抽取中，恰好是兩個學生的數學成績的次數為，求的分布列及數學期望． ∴∴變量的分布列為：0123P …………（10分） …………（12分） 解法二. 隨機變量滿足獨立重復試驗,所以為二項分布, 即………（10分） …………（12分）.考點： 1.離散型隨機變量的期望與方差；2.頻率分布直方圖；3.離散型隨機變量及其分布列．17．（本小題滿分14分）如圖，在底面是矩形的四棱錐中，⊥平面，，.是的中點，（Ⅰ）求證：平面⊥平面； （Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】試題分析：法一（Ⅰ）證明平面PDC內的直線CD，垂直平面PAD內的兩條相交直線PA，AD，即可證明CD⊥平面PAD，推出平面PDC⊥平面PAD；（Ⅲ平面AEC的法向量是，求出，利用，求出直線CD與平面AEC所成角的正弦值．因為是的中點，所以. ………………………（8分）而，由勾股定理可得. ………………………（9分）. ………………………（10分）（Ⅲ）延長，過作垂直于，連結，解法二：以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為 軸建立空間直角坐標系，則(0，0，0) , (2，0，0), (2，4，0) , (0，4，0) ，(0，2，1) , (0，0，2) . ……（2分）∴＝(2，0，0) , ＝(0，4，0) , ＝(0，0，2) , ＝(－2，0，0) ,＝(0，2，1) , ＝(2，4，0) . 　　 ……………………（3分）（Ⅰ）, .又, . ………………………（5分）, , 而,∴平面⊥平面.　………（7分）考點： 1.平面與平面垂直的判定；2.異面直線及其所成的角；3.直線與平面所成的角．18．（本小題滿分14分） 數列{}的前n項和為，．（I）設，證明：數列是等比數列；（II）求數列的前項和；（Ⅲ）若，數列的前項和，證明：．②， ……………（5分）②-①得：， ……………（7分） .……………（9分）19. 已知函數，.（I）若，且對于任意恒成立，試確定實數的取值范圍；（II）設函數，求證：試題解析：（Ⅰ）由可知是偶函數．于是對任意成立等價于對任意成立．………（1分）由得．①當時，．此時在上單調遞增． 故，符合題意．…（3分）②當時，．當變化時的變化情況如下表： ……………………（4分）單調遞減極小值單調遞增由此可得，在上， ．依題意，，又．綜合①，②得，實數的取值范圍是． ………………（7分）（Ⅱ），又， ……………………（10分）20．（本題滿分14分）已知函數，（其中為常數）；（I）如果函數和有相同的極值點，求的值；（II）設，問是否存在，使得，若存在，請求出實數的取值范圍；若不存在，請說明理由．（III）記函數，若函數有5個不同的零點，求實數的取值范圍．5個實根兩兩不相等．g（x）-1=0有2個不同的實根，只需滿足?a＞1或a＜?3；有3個不同的實根，從而結合導數進行求解.試題解析：（I），則，令，得或，而在處有極大值，∴，或；綜上：或． ………………………………（3分）因為（）（）要同時滿足，故；（注：也對）…………………（11分） www.gkstk.cn 每天發布最有價值的高考資源 每天發布最有價值的高考資源 2 2 每天發布最有價值的高考資源www.gkstk.cn【解析版】廣東省中山市2014屆高三上學期期末考試試題（數學 理）
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