金正大九年（1232）正月，金哀宗得知中路蒙軍已經渡河，急召鄧州金軍回援汴京。金軍步騎兵15萬人離鄧州后，遇上大雨雪天氣，糧草不繼，凍餓難支。在鈞州（今河南禹州）三峰山，被尾追而來的右路蒙軍包圍，拖雷見金軍疲憊不堪，凍餓難支，便開放通往鈞州的路口，縱容金兵突圍，然后夾擊，金兵大敗，拖雷率領蒙古 軍乘勝追擊，并和窩闊臺汗派來的援軍會合，攻下鈞州。金將完顏合達、移剌蒲阿、完顏陳和尚、楊沃衍、樊澤等或戰死，或被擒殺。三峰山之戰，金軍大將損失殆盡，主力被消滅。與此同時，即1232年正月，哀宗還召關陜總帥徒單兀典赴援汴京。二月，金軍率老幼相隨開赴汴京，不走洛陽大道，改經西南山區。剛出發不久，一部分官兵就叛歸蒙古。至鐵嶺，金兵已數日不食，進退維谷，秦藍總帥完顏重喜投降，金全軍潰敗，兀典逃走，后也為蒙軍殺死。

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金代的天元術
所謂天元術是解算高次方程的方法，在金無時期十分盛行，金末李冶的《測圓海鏡》和《益占演段》兩書，都是以問答的方式，闡述天元術的解法，其方法是用“元”字表示未知數（相當于近代數學中設X為未知數），用“太”字表示常數，依據所給的數字列出兩個數量相等的方程，兩者相減，一端為零，然后進行解算。李冶的著作有，測圓海鏡》12卷和《益占演段》3卷，是迄今所見最早的系統論述天元術的著作，成書時間已是金元之后的蒙元時期，前者為1248年，后者為1259年。金元之際天元術的發明以及李冶的有關天元術的論述，在中國數學發展史上占有重要地位，為歷代學者極為重視和高度評價。
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