天津市第四十二中學 張鼎言

　　6. 如圖，已知點F(1，0)，直線l：x=-1，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且-?■=-?■

　　(1)求動點P的軌跡C的方程；

　　(2)過點F的直線交軌跡C于A、B兩點，交直線l于點M，已知-=λ1-，-=λ2-，求λ1+λ2的值。

　　解(1)P(x，y)，Q(-1，y)，F(1，0)

　　-=(x+1，0)，-=(2，-y)

　　-=(x-1，y)，-=(-2，y)

　　由已知，得y2=4x

　　拋物線焦點F(1，0)，準線l：x=-1

　　解(2)lABy=k(x-1)，k存在

　　-

　　△=16+16k2>0

　　y1+y2=-，y1y2=-4

　　A(x1，y1)、B(x2，y2)、M(-1，-2k)

　　-=λ1-→y1+2k=-λ1y1，λ1=--

　　-=(x2+1，y2+2k)

　　-=(1-x2，1-y2)

　　→y2+2k=-λ2y2

　　λ2=--

　　λ1+λ2=----

　　=-2-2k(-+-)

　　=-2-2k?■=0

　　注：本題的直線過拋物線焦點，但沒有拋物線定義.把前5個題與本題比較，直線過焦點且出現距離問題時，前5個題引出的方法適用.

　　(五)直線與圓錐曲線相交不過焦點

　　復習導引：

　　因直線不過焦點又與圓錐曲線相交，設直線方程一般不用兩點式，否則會導致推導的復雜性。點在直線或曲線上，點的坐標滿足方程看來熟知卻容易忽略。

　　1. 設橢圓-+-=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是橢圓上的一點，AF2⊥F1F2，原點O到直線AF1的距離為-OF1。

　　(Ⅰ)證明a=-b；

　　(Ⅱ)設Q1，Q2為橢圓上的兩個動點，OQ1⊥OQ2，過原點O作直線Q1Q2的垂線OD，垂足為D，求點D的軌跡方程。

　　(Ⅰ)-+-=1(a>b>0)

　　A(c，y)

　　-+-=1，y=-

　　-=-

　　→-=-

　　-=-→2a2-b2=3b2，a2=2b2，∴a=-b

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)

　　-

　　-

　　→(2k2+1)x2+4kmx+2(m2-b2)=0

　　△=16k2m2-8(2k2+1)(m2-b2)>0

　　2k2b2+b2>m2

　　x1+x2=--，

　　x1x2=-

　　y1y2=(kx1+m)(kx2+m)

　　=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2

　　=---+m2

　　=-

本文來自：逍遙右腦記憶 /xuexi/228828.html

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