第二十八章 銳角三角函數
本章小結
小結1 本章概述
銳角三角函數、解直角三角形，它們既是相似三角形及函數的繼續，也是繼續學習三角形的基礎．本章知識首先從工作和生活中經常遇到的問題人手，研究直角三角形的邊角關系、銳角三角函數等知識，進而學習解直角三角形，進一步解決一些簡單的實際問題．只有掌握銳角三角函數和直角三角形的解法，才能繼續學習任意角的三角函數和解斜三角形等知識，同時解直角三角形的知識有利于培養數形結合思想，應牢固掌握．
小結2 本章學習重難點
【本章重點】 通過實例認識直角三角形的邊角關系，即銳角三角函數(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函數值，會運用三角函數知識解決與直角三角形有關的簡單的實際問題．
【本章難點】 綜合運用直角三角形的邊邊關系、邊角關系來解決實際問題．
【學習本章應注意的問題】
在本章的學習中，應正確掌握四種三角函數的定義，熟記特殊角的三角函數值，要善于運用方程思想求直角三角形的某些未知元素，會運用轉化思想通過添加輔助線把不規則的圖形轉化為規則的圖形來求解，會用數學建模思想和轉化思想把一些實際問題轉化為數學模型，從而提高分析問題和解決問題的能力．
小結3 中考透視
這一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函數值及幾個三角函數間的關系，主要題型是選擇題、填空題．另外解直角三角形在實際問題中的應用也是考查的一個重點，主要題型是填空題和解答題，約占3～7分．
知識網絡結構圖
專題總結及應用
一、知識性專題
專題1：銳角三角函數的定義
【專題解讀】 銳角三角函數定義的考查多以選擇題、填空題為主．
例1 如圖28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結論正確的是 ( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ，cos B＝ ＝ ．故選D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ,則tan A等于 ( )
A． B． C． D．
分析 在Rt△ABC中，設AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tan A＝ ．故選D.
分析 在Rt△ABC中，BC＝ ＝3，∴sin A＝ ．故填 ．
專題2 特殊角的三角函數值
【專題解讀】 要熟記特殊角的三角函數值．
例4 計算－3＋2cos 45°－( －1)0．
分析 cos 45°＝ ．
解：原式＝3＋2× －1＝ ＋2．
例5 計算－ ＋ ＋(－1)2007－cos 60°．
分析 cos 60°＝ ．
解：原式＝ ＋3＋(－1)－ ＝3－1＝2．
例6 計算－ ＋(cos 60°－tan 30°)0＋ ．
分析 cos 60°＝ ，tan 30°＝ ，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，
解：原式＝ ＋1十＋2 ＝3 ＋1．
例7 計算 －(π－3.14)0－1－tan 60°－ .
分析 tan 60°＝ .
解：原式＝8－1－ ＋1＋ ＋2＝10.
專題3 銳角三角函數與相關知識的綜合運用
【專題解讀】 銳角三角函數常與其他知識綜合起來運用，考查綜合運用知識解決問題的能力.
例8 如圖28－124所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點，BC＝14，AD＝12，sin B＝ ．
(1)求線段DC的長；
(2)求tan∠EDC的值.
分析 在Rt△ABD中，由sinB＝ ，可求得BD，從而求得CD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE＝ AC＝EC，則∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以轉化為求tan C.
解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sin B＝ ．
∵AD＝12，sin B＝ ，∴AB＝15，
∴BD＝ ＝ ＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝ AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tan C＝ ＝ ,∴tan∠EDC＝tan C＝ ．
例9 如圖28－125所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tan B＝cos∠DAC.
(1)求證AC＝BD；
(2)若sin C＝ ，BC＝12，求AD的長．
分析 (1)利用銳角三角函數的定義可得AC＝BD．(2)利用銳角三角函數與勾股定理可求得AD的長．
證明：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tan B＝ ，cos∠DAC＝ ，tan B＝cos∠DAC，
∴ ＝ ，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝ ，設AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝ ＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝ ，
∴AD＝12k＝12× ＝8．
例10 如圖28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30 ，求AB的長．
分析 過點A作AD⊥BC于D，把斜三角形轉化為直角三角形，利用AD是兩個直角三角形的公共邊，設AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出來，再由BD＋CD＝BC這一等量關系列方程，求得AD，則AB可在Rt△ABD中求得．
解：過點A作AD⊥BC于D，設AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝ ，∴BD＝ ＝x，
在Rt△ADC中，tan C＝ ，∴CD＝ ＝ ＝ x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30 ，
∴x＋ x＝30＋30 ,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sin B＝ ，
∴AB＝ ＝ ＝30 .
專題4 用銳角三角函數解決實際問題
【專題解讀】 加強數學與實際生活的聯系，提高數學的應用意識，培養應用數學的能力是當今數學改革的方向，圍繞本章內容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關的應用問題逐步成為命題的熱點，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測量問題、高度測量問題等，解決各類應用問題時要注意把握各類圖形的特征及解法．
例11 如圖28－127所示，小山上有一棵樹，現有一測角儀和皮尺兩種測量工具，請你設計一種測量方案，在山腳的水平地面上測出小樹頂端A到水平地面上的距離AB．
(1)畫出測量示意圖；
(2)寫出測量步驟(測量數據用字母表示)；
(3)根據(2)中的數據計算AB．
解：(1)測量示意圖如圖28—128所示．
(2)測量步驟．
第一步：在地面上選擇點C安裝測角儀，測得此時小樹頂端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前進到點D，用皮尺量出C，D之間的距離
CD＝m．
第三步：在點D安裝測角儀，測得此時小樹頂端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺測出測角儀的高h．
(3)令AE＝x，則tan α＝ ，得HE＝ .
又tan β＝ ，得EF＝ ，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴ ＝m，解得x＝ ．
∴AB＝ ＋h．
例12 如圖28－129所示，一條小船從港口A出發，沿北偏東40°方向航行20海里后到達B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達C處，則此時小船距港口A多少海里?(結果保留整數，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391， ≈1.732)
分析 此題可作CD⊥AP構造直角三角形求AC，而CD，AD的長可轉移到其他三角形中解決，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，進而求解．
解：如圖28－130所示，過點B作BE⊥AP，垂足為點E，過點C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點D，F，則四邊形CDEF為矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝AB?cos 40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝AB?sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BC?sin 60°≈10× ＝5 ≈8.7，
BF＝BC?cos 60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝ ≈ ＝ ≈25，
即此時小船距港口A約25海里．
【解題策略】 正確理解方位角，作出恰當的輔助線構造直角三角形是解此題的關鍵．
例13 如圖28－131所示，我市某中學數學課外活動小組的同學利用所學知識去測量沱江流經我市某段的河寬．小凡同學在點A處觀測到對岸C點，測得∠CAD＝45°，又在距A處60米遠的B處測得∠CBA＝30°，請你根據這些數據算出河寬是多少?(結果保留小數點后兩位)
分析 本題可作CE⊥AB，垂足為E，求出CE的長即為河寬．
解：如圖28－131所示，過點C作CE⊥AB于E，則CE即為河寬，
設CE＝x(米)，則BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝ ，即 ＝ ,
解得x＝30( ＋1)≈81.96(米)．
答：河寬約為81．96米．
【解題策略】 解本題的關鍵是設CE＝x，然后根據BE＝AB＋AE列方程求解．
例14 如圖28－132所示，某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊的A點處發現海中的B點有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號救生員從A點直接跳入海中；2號救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點再跳入海中；3號救生員沿岸邊向前跑300米到離B點最近的D點，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生員同時從A點出發，請說明誰先到達營救地點B．(參考數據 ≈1.4， ≈1.7)
分析 在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根據計算出的數據判斷誰先到達．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝ ＝300 .
＝tan 45°，即BD＝AD?tan 45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝ ＝200 ，CD＝ ＝ ＝100 .
1號救生員到達B點所用的時間為 ＝150 ≈210(秒)，
2號救生員到達B點所用的時間為 ＝50＋ ≈192(秒)，
3號救生員到達B點所用的時間為 ＋ ＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2號求生員先到達營救地點B.
【解題策略】 本題為閱讀理解題，題目中的數據比較多，正確分析題意是解題的關鍵．
例15 如圖28－133所示，某貨船以24海里/時的速度將一批重要物資從A處運往正東方向的M處，在點A處測得某島C在它的北偏東60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達B處，此時再測得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C島周圍9海里的區域內有暗礁，若貨船繼續向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險?試說明理由．
分析 本題可作CD⊥AM于點D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：過點C作CD⊥AM，垂足為點D，
由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24× ＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝6 (海里)．
∵6 ＞9，∴貨船繼續向正東方向航行無觸礁危險．
【解題策略】 此題實際上是通過⊙C(半徑為9海里)與直線AM相離判斷出無觸礁危險.
例16 如圖28－134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測得D點和C點的仰角分別為45°和60°，且A，B，F三點在一條直線上，若BE＝15米，求這塊廣告牌的高度．( ≈1.73，結果保留整數)
分析 由于CD＝CE－DE，所以可分別在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的長，從而得出結論．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE?tan 60°＝15 ，
∴CD＝CE－DE＝15 －23≈3，
即這塊廣告牌的高度約為3米．
例17 如圖28－135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.
分析 坡度即坡角的正切值，所以分別過A，D兩點向壩底引垂線，把梯形轉化為兩個直角三角形和一個矩形．
解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
由題意可知tanB＝1，tan C＝ ，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝ ＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝ ，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：壩底寬BC為12．5 m．
【解題策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18 如圖28－136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD＝30m，某人在點A處測得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距CD的水平距離AB．(參考數據：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
分析 要求AB的值，由于兩個直角三角形中都只有角的已知條件，不能直接求解，所以設AB為未知量，即用AB表示BD和BC，根據BD－BC＝CD＝30，列出關于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan 23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°＝AB(tan 23°－tan 20°)．
∴AB＝ ≈ ＝500(m)．
答：此人距CD的水平距離AB約為500 m．
二、規律方法專題
專題5 公式法
【專題解讀】 本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關鍵．
例19 當0°＜α＜90°時，求 的值．
分析 由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴ .
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝ ＝1．
【解題策略】 以上解法中，應用了關系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，這一關系式在解題中經常用到，應當牢記，并靈活運用．
三、思想方法專題
專題6 類比思想
【專題解讀】 求方程中未知數的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念．我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素．
例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，解這個直角三角形．
分析 已知兩直角邊長a，b，可由勾股定理c＝ 求出c，再利用sin A＝ 求出∠A，進而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝ .
又∵sin A＝ ，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解題策略】 除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
專題7 數形結合思想
【專題解讀】由“數”思“形”，由“形”想“數”，兩者巧妙結合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一．
例21 如圖28－137所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－ x＋ ，則cosα等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 ∵y＝－ x＋ ，∴當x＝0時，y＝ ，當y＝0時，x＝1，∴A(1，0)，B ，∴OB＝ ，OA＝1，∴AB＝ ＝ ，∴cos∠OBA＝ . ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝ ．故選A.
專題8 分類討論思想
【專題解讀】 當結果不能確定，且有多種情況時，對每一種可能的情況都要進行討論．
例22 一條東西走向的高速公路上有兩個加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個加油站C，C到高速公路的最短距離是30 km，B，C間的距離是60 km．要經過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離．(結果可保留根號)
解：①如圖28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10 ．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10 )km．
②同理，如圖28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10 )km，
故交叉口P與加油站A的距離為(30＋10 )km或(30－10 )km．
【解題策略】 此題針對P點的位置分兩種情況進行討論，即點P在線段AB上或點P在線段BA的延長線上．
專題9 轉化思想
【專題解讀】 本章中的轉化思想主要應用在把直角三角形的線段比轉化為三角函數值、把實際問題轉化為數學問題、把斜三角形問題轉化為直角三角形問題等．
例23 如圖28－139所示，某校樓的后面緊鄰著一個土坡，坡上面是一塊平地，BC∥AD，斜坡AB的長為22 m，坡角∠BAD＝68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學校決定對該土坡進行改造，經地質人員勘測，當坡角不超過50°時，可確保山體不滑坡．
(1)求改造前坡頂與地面的距離；
(2)為確保安全，學校計劃改造時保持坡腳A不動，坡頂B沿BC改到F點處，則BF至少是多少米?(結果保留小數點后一位，參考數據：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918)
分析 將實際問題轉化為數學問題是解題關鍵．
解：(1)過B作BE⊥AD于E，
則在Rt△ABE中，sin∠BAE＝ ，
∴BE＝AB?sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．
(2)過F作FG⊥AD于G，連接FA，則FG＝BE．
∵AG＝ ≈17.12，AE＝AB?cos 68°＝22cos 68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24 如圖28－140所示，A，B兩城市相距100 km．現計劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經測量，森林保護中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護區的范圍在以P點為圓心，50 km為半徑的圓形區域內．請問計劃修筑的這條高速公路會不會穿越保護區．為什么?(參考數據： ≈1.732， ≈1.414)
解：過點P作PC⊥AB，C是垂足，
則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC?tan 30°，BC＝PC?tan 45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PC?tan 30°＋PC?tan 45°＝100，
∴( ＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－ )≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保護區的中心與直線AB的距離大于保護區的半徑，所以計劃修筑的這條高速公路不會穿越保護區．
例25 小鵑學完解直角三角形知識后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28－141所示，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12 mm的橫格紙中，恰好四個頂點都在橫格線上．已知α＝36°，求長方形卡片的周長．”請你幫小艷解答這道題．(結果保留整數；參考數據：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)
解：作BE⊥l于點E，DF⊥l于點F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根據題意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm．
在Rt△ABE中，sinα＝ ，
∴AB＝ ≈ ＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝ ，
∴AD＝ ≈ ＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周長＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26 如圖28－142所示，某居民樓I高20米，窗戶朝南．該樓內一樓住戶的窗臺離地面距離CM為2米，窗戶CD高1．8米．現計劃在I樓的正南方距1樓30米處新建一居民樓Ⅱ．當正午時刻太陽光線與地面成30°角時，要使Ⅱ樓的影子不影響I樓所有住戶的采光，新建Ⅱ樓最高只能蓋多少米?
解：設正午時光線正好照在I樓的一樓窗臺處，此時新建居民樓
Ⅱ高x米．
過C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，FC＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan 30°＝ ,∴＝10 ＋2．
答：新建居民樓Ⅱ最高只能建(10 ＋2)米．
2011中考真題精選
一、選擇題
1. （2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinA=_______.
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理。
專題：網格型。
分析：設小方格的長度為1，過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，然后根據銳角三角函數的定義求出sinA．
解答：解：過C作CD⊥AB，垂足為D，設小方格的長度為1，
在Rt△ACD中，AC= =2 .∴sinA= = ，
故答案為 ．
點評：本題主要考查銳角三角函數的定義和勾股定理的知識點，此題比較簡單，構造一個直角三角形是解答本題的關鍵．
2. （2011江蘇蘇州，9，3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分?是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（ �。�
A． B． C． D．
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：根據三角形的中位線定理即可求得BD的長，然后根據勾股定理的逆定理即可證得△BCD是直角三角形，然后根據正切函數的定義即可求解．
解答：解：連接BD．
∵E、F分?是AB、AD的中點．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故選B．
點評：本題主要考查了三角形的中位線定義，勾股定理的逆定理，和三角函數的定義，正確證明△BCD是直角三角形是解題關鍵．
3. （2011江蘇鎮江常州，6，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC= ，BC=2，則sin∠ACD的值為（ �。�
A． B．
C． D．
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理．
專題：應用題．
分析：在直角△ABC中，根據勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉化為求sinB．
解答：在直角△ABC中，根據勾股定理可得：AB= = =3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B= = ，
故選A．
點評：本題考查了解直角三角形中三角函數的應用，要熟練掌握好邊角之間的關系，難度適中．
4. （2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記作cotA= ．則下列關系式中不成立的是（ �。�
A．tanA?cotA=1B．sinA=tanA?cosA C．cosA=cotA?sinAD．tan2A+cot2A=1
考點：同角三角函數的關系。
專題：計算題。
分析：可根據同角三角函數的關系：平方關系；正余弦與正切之間的關系（積的關系）；正切之間的關系進行解答．
解答：解：根據銳角三角函數的定義，得
A、tanA?cotA= =1，關系式成立；
B、sinA= ，tanA?cosA= ，關系式成立；
C、cosA= ，cotA?sinA= ，關系式成立；
D、tan2A+cot2A=（ ）2+（ ）2≠1，關系式不成立．
故選D．
點評：本題考查了同角三角函數的關系．（1）平方關系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦與正切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA= 或sinA=tanA?cosA．
（3）正切之間的關系：tanA?tanB=1．
5. （2011陜西，5，3分）在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（ ）
A． B． C． D．
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理的逆定理。
專題：計算題。
分析：根據三角形余弦表達式即可得出結果．
解答：解：根據三角函數性質 cosB= = ，
故選C．
點評：本題主要考查了銳角三角函數的定義及比例關系，比較簡單．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（ �。�
A. B. C. D.1
考點：特殊角的三角函數值。
分析：根據特殊角度的三角函數值解答即可．
解答：解：sin45°= ．
故選B．
點評：此題比較簡單，只要熟記特殊角度的三角函數值即可．
7. （2011?貴港）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2 ，則tan∠CAD的值是（ ）
A、2B、
C、 D、
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理。
專題：常規題型。
分析：根據中線的定義可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的長，再根據正切等于對邊：鄰邊列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC邊上的中線，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC= = =2，
∴tan∠CAD= = =2．
故選A．
點評：本題考查了正切的定義以及勾股定理的應用，熟記直角三角形中，銳角的正切等于對邊：鄰邊是解題的關鍵．
8.（2011山東煙臺，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB= ，則下列最確切的結論是（ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是銳角三角形
考點：特殊角的三角函數值.
分析：根據特殊角的三角函數值，直接得出∠A，∠B的角度從而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB= ，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．
點評：此題主要考查了特殊角的三角函數值，正確的記憶特殊角的三角函數值是解決問題的關鍵．
10. （2011四川達州，8，3分）如圖所示，在數軸上點A所表示的數x的范圍是（ ）
A、 B、
C、 D、
考點：特殊角的三角函數值；實數與數軸。
專題：計算題。
分析：先根據數軸上A點的位置確定出其范圍，再根據特殊角的三角函數值對四個選項進行分析即可．
解答：解：由數軸上A點的位置可知， ＜A＜2．
A、由 sin30°＜x＜sin60°可知， × ＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本選項錯誤；
B、由cos30°＜x＜ cos45°可知， ＜x＜ × ，即 ＜x＜ ，故本選項錯誤；
C、由 tan30°＜x＜tan45°可知， × ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本選項錯誤；
D、由 cot45°＜x＜cot30°可知， ×1＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本選項正確．
故選D．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數值及在數軸的特點，熟記各特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．
9.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點在正方形網格線的交點處，若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC’B’，則tanB’的值為（ ）
A． B． C． D．
考點：銳角三角函數的定義；旋轉的性質．
分析：過C點作CD⊥AB，垂足為D，根據旋轉性質可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉化為在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：過C點作CD⊥AB，垂足為D．
根據旋轉性質可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，
∴tanB′=tanB= ．
故選B．
點評：本題考查了旋轉的性質，旋轉后對應角相等；三角函數的定義及三角函數值的求法．
10 （2011甘肅蘭州，8，4分）點M（－sin60°，cos60°）關于x軸對稱的點的坐標是（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ， ） D．（ ， ）
考點：特殊角的三角函數值；關于x軸、y軸對稱的點的坐標．
分析：先根據特殊三角函數值求出M點坐標，再根據對稱性解答．
解答：解：∵sin60°= ，cos60°= ，∴點M（－ ， ）．
∵點P（m，n）關于x軸對稱點的坐標P′（m，-n），
∴M關于x軸的對稱點的坐標是（－ ，－ ）．故選B．
點評：考查平面直角坐標系點的對稱性質，特殊角的三角函數值．
11. （2011廣東省茂名，8，3分）如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（ �。�
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考點：銳角三角函數的增減性。
專題：計算題。
分析：根據銳角三角函數的增減性sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根據sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，
當∠A＞45°時，sinA＞cosA，
故選：B．
點評：此題主要考查了銳角三角函數的增減性，正確的利用銳角三角函數的增減性是解決問題的關鍵．
12. （2011?宜昌，11，3分）如圖是用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，則邊BC的長為（ �。�
A、30 cmB、20 cmC、10 cmD、5 cm
考點：解直角三角形；特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：因為教學用的直角三角板為直角三角形，所以利用三角函數定義，一個角的正切值等于這個角的對邊比鄰邊可知角BAC的對邊為BC，鄰邊為AC，根據角BAC的正切值，即可求出BC的長度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據三角函數定義可知：
tan∠BAC= ，又AC=30cm，tan∠BAC= ，
則BC=ACtan∠BAC=30× =10 cm．
故選C．
點評：此題考查學生掌握三角函數正弦、余弦及正切的定義，是一道基礎題．要求注意觀察生活中的數學問題，培養學生利用數學知識解決實際問題的能力，體現了數學來自于生活且服務于生活．
13. （2011湖北隨州，9，3）cos30°＝（ �。�
A、 B、 C、 D、
考點：特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：直接根據cos30°＝ 進行解答即可．
解答：解：因為cos30°＝ ，
所以C正確．
故選C．
點評：本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記各特殊角的三角函數值是解答此題的關鍵．
14. （2011?玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（ �。�
A、 B、 C、 D、
考點：特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：先根據題意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°?30°=60°，
cosα=cos60°= ．
故選A．
點評：本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主．
【相關鏈接】特殊角三角函數值：
sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°= ；
sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，cot60°= ．
互余角的性質：兩角互余其和等于90度．
15.（2011廣西防城港 2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（ �。�
A． B． C． D．
考點：特殊角的三角函數值
專題：解直角三角形
分析：先根據題意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ ．
解答：A
點評：本題考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題．填空題為主．特殊角三角函數值：sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ，cot30°＝ ；sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ ，cot60°＝ ．
16.（2011年廣西桂林，6，3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
則sinA的值為（ ）．
A． B．
C． D．
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的對邊與斜邊的比值；先求出斜邊AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA= = ．
故選C．
點評：本題考查了銳角三角函數值的求法及勾股定理的應用，熟記公式才能正確運用．
17.（2011廣西來賓，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則∠A的余弦值是
A. B. C. D.
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理。
專題：計算題。
分析：先根據勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=鄰邊÷斜邊計算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA= = ．
故選C．
18. （2011湖州，4，3分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為（ ）
A．2 B． C． D．
考點：銳角三角函數的定義.
分析：根據tanA是角A的對邊比鄰邊，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA= ．故選B．
點評：此題主要考查了銳角三角函數的定義，熟練記憶銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵．
19. 如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（ �。〢、 B、 C、 D、
【答案】A
【考點】銳角三角函數的定義；勾股定理．
【專題】待定系數法．
【分析】本題可以利用銳角三角函數的定義求解，sinA為∠A的對邊比上斜邊，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA= ．故選A．
【點評】此題主要考查了銳角三角函數的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．
20． （2011福建莆田，8，4分）如圖，在矩形ABCD中，點E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點B落在AD邊上的點F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（ ）
A． B． C． D．
考點：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質；銳角三角函數的定義．
分析：由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．
故選C．
點評：此題考查了折疊的性質，矩形的性質以及三角函數的性質．解此題的關鍵是數形結合思想與轉化思想的應用．
21. （2011四川遂寧，8，4分）計算2sin30°?sin245°+cot60°的結果是（ �。�
A、 +3 B、 + C、 + D、1－ +
考點：特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：分別把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入進行計算即可．
解答：解：2sin30°?sin245°+cot60°=2× －（ ）2+（ ）2+ =1? + = + ．故選B．
點評：本題考查了特殊角的三角函數值，熟記30°，45°，60°角的特殊角的三角函數值是解題的關鍵．
22. （2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=（ �。�
A. B. C. D.
考點：圓周角定理；銳角三角函數的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE） 構造直角三角形ACE，在直角三角形中根據銳角三角函數的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：解：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= ；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB= ．
故選D．
點評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數的定義．在求銳角三角函數值時，一般是通過作輔助線構造直角三角形，在直角三角形中解三角函數的三角函數值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則 （ ）
A B C D
考點：圓周角定理；銳角三角函數的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE） 構造直角三角形ACE，在直角三角形中根據銳角三角函數的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= = ；
又∵∠B=∠E（同弧所對的的圓周角相等），
∴sinB= ．
故選D．
點評：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數的定義．在求銳角三角函數值時，一般是通過作輔助線構造直角三角形，在直角三角形中解三角函數的三角函數值即可．
二、填空題
1. （2011江蘇南京，11，2分）如圖，以0為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于 ．
考點：特殊角的三角函數值；等邊三角形的判定與性質。
分析：根據作圖可以證明△ABC是等邊三角形，則∠AOB=60°，據此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案是： ．
點評：本題主要考查了特殊角的三角函數值，正確理解△ABC是等邊三角形是解題的關鍵．
2. （2011江蘇鎮江常州，11，3分）若∠α的補角為120°，則∠α= 60° ，sinα= ．
考點：特殊角的三角函數值；余角和補角．
專題：計算題．
分析：根據補角的定義，即可求出∠α的度數，從而求出sinα的值．
解答：解：根據補角定義，∠α=180°?120°=60°，
于是sinα=sin60°= ．
故答案為60°， ．
點評：此題考查了特殊角的三角函數值和余角和補角的定義，要熟記特殊角的三角函數值．
3. （2010福建泉州，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB= 5 ，sinA= ．
考點銳角三角函數的定義；勾股定理
分析先利用勾股定理計算出AB，然后根據正弦的定義即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，∴sinA= = ．故答案為：5， ．
點評本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個銳角的正弦等于這個角的對邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．
4. （2011福建廈門，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，則sinB= �。�
考點：銳角三角函數的定義。
專題：數形結合。
分析：利用銳角三角函數的定義知：銳角的正弦值= ．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如圖），
sinB= = ．
故答案是： ．
點評：本題考查了銳角三角函數的定義．①正弦（sin）等于對邊比斜邊； ②余弦（cos）等于鄰邊比斜邊； ③正切（tan）等于對邊比鄰邊； ④余切（cot）等于鄰邊比對邊； ⑤正割（sec）等于斜邊比鄰邊； ⑥余割 （csc）等于斜邊比對邊．
5.（2011天水，16，4）計算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= �。�
考點：特殊角的三角函數值；互余兩角三角函數的關系。
專題：計算題。
分析：根據特殊角的三角函數值計算．tanA?tan（90°?A）=1．
解答：解：原式= +1+ =2．
故答案為2．
點評：本題考查了特殊角的三角函數值以及互余兩角三角函數的關系，牢記三角函數值是解題的關鍵．
6. （2011山東日照，13，4分）計算sin30°??2= ．
考點：特殊角的三角函數值；絕對值。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、特殊角的三角函數值，針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
解答：解：原式= ?2= ．
故答案為： ．
點評：本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值．
7. （2011重慶江津區，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝ ．
考點：銳角三角函數的定義。
專題：計算題。
分析：在Rt△ABC中，根據三角函數定義sinA＝ 即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根據三角函數的定義得：sinA＝ ＝ ，
故答案為 ．
點評：此題比較簡單，考查的是銳角三角函數的定義，解答此類題目的關鍵是畫出圖形便可直觀解答．
8. （2011內蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D， ．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．
考點：切線的判定與性質；全等三角形的判定與性質；相似三角形的判定與性質；銳角三角函數的定義．
專題：綜合題．
分析：（1）連接OB、OP，由 ，且∠D=∠D，根據三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設PB=a，則BD=2a，根據切線長定理得到PA=PB=a，根據勾股定理得到AD=2 a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA= ×2 a= a，則OA= a，利用勾股定理求出OP，然后根據余弦函數的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵ ，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD= a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA= ×2 a= a，
∴OA= a，
∴OP= ，
∴cos∠BCA=cos∠POA= ．
點評：本題考查了圓的切線的性質和判定：圓的切線垂直于過切點的半徑；過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質以及三角函數的定義．
9.（2011?安順）如圖，點E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE= ．
考點：圓周角定理；坐標與圖形性質；銳角三角函數的定義。
分析：根據同弧所對的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數可求tan∠ECO= ，即tan∠OBE= ．
解答：解：連接EC．
根據圓周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
則tan∠ECO= ．故tan∠OBE= ．
點評：本題重點考查了同弧所對的圓周角相等及解直角三角形的知識．
注意銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正弦等于對比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對比鄰．
10. （2011黑龍江大慶，11，3分）計算sin230°+cos230°?tan245°= ? ．
考點：特殊角的三角函數值。
分析：把三角函數的數值代入計算即可．
解答：解：原式=（ ）2+（ ）2?1= + ?1，=? ．故答案是：? ．
點評：本題主要考查了特殊角的三角函數值，正確記憶函數值是解題的關鍵．
11. （2011?西寧）計算： sin45°= 1�。�
考點：特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：根據特殊角的三角函數值解答．
解答：解：根據特殊角的三角函數值得：sin45°= ，
∴ sin45°= × =1．
故答案為1．
點評：本題主要考查特殊角三角函數值的計算，特殊角三角函數值計算在中考中經常出現，題型以選擇題、填空題為主，比較簡單．
12.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.
【考點】特殊角的三角函數值；等腰直角三角形．
【分析】根據△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，從而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案為1．
【點評】本題涉及到的知識點有：等腰直角三角形、特殊角的三角函數值，解題時牢記特殊角的三角函數值．
13. （2011?萊蕪）若a=3?tan60°，則 = 。
考點：分式的化簡求值；分式的基本性質；約分；通分；最簡分式；最簡公分母；分式的乘除法；分式的加減法；特殊角的三角函數值。
專題：計算題。
分析：求出a的值，把分式進行計算，先算括號里面的減法，把除法轉化成乘法，再進行約分即可．
解答：解：a=3?tan60°=3? ，
∴原式=
=
=
故答案為： ．
點評：本題主要考查對分式的基本性質，約分、通分，最簡分式，最簡公分母，分式的加減、乘除運算，特殊角的三角函數值等知識點的理解和掌握，綜合運用這些法則進行計算是解此題的關鍵．
14. （2011山東淄博16，4分）如圖，正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點P，則tan∠NPH的值為 ．
考點：銳角三角函數的定義。
分析：根據已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線分線段成比例定理得出 ，進而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方體的棱長為3，點M，N分別在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴ ，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH= ，
故答案為： ．
點評：此題主要考查了銳角三角函數的定義以及平行線分線段成比例定理等知識，根據已知得出PH的長再利用銳角三角函數的定義求出是解決問題的關鍵．
15. （2011黑龍江省哈爾濱,19，3分）已知：正方形ABCD的邊長為2，點P是直線CD上一點，若DP=1，則tan∠BPC的值是 ．
考點：銳角三角函數的定義；勾股定理；正方形的性質。
分析：本題可以利用銳角三角函數的定義、勾股定理以及正方形的性質求解．
解答：解：此題有兩種可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC= =2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC= ．
故答案為：2或 ．
點評：本題考查了銳角三角函數的定義、勾股定理以及正方形的性質，解題的關鍵是利用圖形考慮此題有兩種可能，要依次求解．
16. （2011湖北武漢，13，3分）sin30°的值為．
考點：特殊角的三角函數值。
分析：根據特殊角的三角函數值計算即可．
解答：解：sin30°= ，故答案為 ．
點評：本題考查了特殊角的三角函數值，應用中要熟記特殊角的三角函數值，一是按值的變化規律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規律去記．
三、解答題
1. （2011新疆建設兵團，20，8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺規作圖的方法，作出△ABC繞點A逆時針旋轉45°后的圖形△AB1C1（保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考點：作圖－旋轉變換；銳角三角函數的定義．
分析：（1）作出∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂線，即可得出答案．
（2）利用旋轉的性質得出AB1＝3，AC1＝4，再利用銳角三角函數的定義即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如圖所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
點評：此題主要考查了做旋轉圖形和銳角三角函數的定義，根據已知熟練記憶銳角三角函數的定義是解決問題的關鍵．
2. （2011浙江金華，17，6分）(本題6分)
計算：－1－ －（5－π）0+4cos45°.
考點：特殊角的三角函數值；零指數冪；二次根式的混合運算。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數冪、特殊角的三角函數值四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
【解】原式=1－ ×2 －1+4× =
點評：本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
3.（2011浙江麗水，17，6分）計算： ．
考點：特殊角的三角函數值；零指數冪；二次根式的混合運算。
專題：計算題。
分析：本題涉及絕對值、二次根式化簡、零指數冪、特殊角的三角函數值四個考點．針對每個考點分別進行計算，然后根據實數的運算法則求得計算結果．
解答：解： ，
= ，
= ．
點評：本題考查實數的綜合運算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關鍵是熟記特殊角的三角函數值，熟練掌握零指數冪、二次根式、絕對值等考點的運算．
4. （2011浙江衢州，17，6分）（1）計算：?2?（3?π）0+2cos45°；
考點：特殊角的三角函數值；分式的加減法；零指數冪。
專題：計算題。
分析：（1）根據絕對值、零指數冪、特殊角的三角函數值的性質化簡，然后根據實數運算法則進行計算即可得出結果，
解答：解：（1）原式= ，
= ；
點評：本題主要考查了絕對值、零指數冪、特殊角的三角函數值的性質、實數運算法則及同分母分式加減法法則，難度適中．
5.（1）（2011浙江義烏，17（1），3分）計算：20110＋ －2sin45°；
考點：特殊角的三角函數值；零指數冪；解分式方程。
專題：計算題。
分析：（1）根據零指數冪，以及特殊角的三角函數值即可解答本題，
（2）觀察方程可得最簡公分母是：2（x－2），兩邊同時乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2 － ，
＝1＋ ；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
檢驗：當x＝12時，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
點評：本題考查了零指數冪，以及特殊角的三角函數值，以及解分式方程需轉化為整式方程，還要注意一定要驗根．
6. （2011黑龍江省哈爾濱,21，6分）先化簡，再求代數式 的值，其中x=2cos45°?3．
考點：分式的化簡求值；特殊角的三角函數值。
專題：探究型。
分析：先把原式進行化簡，再把x=2cos45°?3代入進行計算即可．
解答：解：原式=
=
當x=2cos45°?3時，
原式=
= ．
故答案為： ．
點評：本題考查的是分式的化簡求值及特殊角的三角函數值，熟知分式混合運算的法則把原式化為 的形式是解答此題的關鍵．
7. （2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°)= .
計算 的值.
考點：特殊角的三角函數值；零指數冪；負整數指數冪.
分析：根據特殊角的三角函數值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數值、零指數冪、負指數冪的性質進行化簡，根據實數運算法則即可計算出結果．
解答：解：∵sin60°= ，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2 ?4× ?1+1+3=3．
點評：本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數值、零指數冪、負指數冪的性質及實數運算法則，難度適中．
8. （2011甘肅蘭州，26，9分）通過學習三角函數，我們知道在直角三角形中，一個銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA .容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的.根據上述角的正對定義，解下列問題：
（1）sad60°= .
（2）對于0°
考點：解直角三角形
分析：（1）根據等腰三角形的性質，求出底角的的度數，判斷出三角形為等邊三角形，再根據正對的定義解答；
（2）求出0度和180度時等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構造等腰三角形ACD，根據正對的定義解答．
解答：解：（1）根據正對定義，
當頂角為60°時，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，則sad60°= =1．故答案為1．
（2）當∠A接近0°時，sadα接近0，
當∠A接近180°時，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．
（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．
在AB上取點D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC= =4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．∴DH=ADsin∠A= k，
AH= = k．
則在△CDH中，CH=AC?AH= k，CD= = k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．
由正對的定義可得：sadA= = ，即sadα= ．
點評：此題是一道新定義的題目，考查了正對這一新內容，要熟悉三角函數的定義，可進行類比解答．
綜合驗收評估測試題
(時間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，則tan B的值為 ( )
A． B． C． D．
2．已知α為銳角，tanα＝ ，則cosα等于 ( )
A． B． C． D．
3．如圖28－143所示，為了確定一條小河的寬度BC，可在C左側的岸邊選擇一點A，使得AC⊥BC，若測得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC等于 ( )
A．asinθ B．acosθ C．atanθ D.
4．某同學想用所學的知識測量旗桿的高度，在地面距旗桿底部5 m遠的地方，他用測傾器測得旗桿頂部的仰角為α，且tanα＝3，則旗桿高等于(不計測傾器的高度) ( )
A．10 m B．12 m C．15 m D．20 m
5．如圖28－144所示，測量人員在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進1000米到達D處，在D處測得山頂B的仰角為60°，則山的高度BC大約是(結果保留小數點后兩位) ( )
A．1366．03米 B．1482．12米
C．1295．93米 D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sin B＝ ，那么AB的長是 ( )
A．4 B．9 C．3 D．2
7．如圖28－145所示，在高樓前的D點測得樓頂的仰角為30°，向高樓前進60米到達C點，又測得樓頂的仰角為45°，則該高樓的高度大約為 ( )
A．82米 B．163米 C．52米 D．70米
8．某人沿傾斜角為B的斜坡前進100米，則他上升的最大高度是 ( )
A. 米 B.100sinβ米 C． 米 D．100cosβ米
9．鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為2：3，上底寬6米，路基高4米，則路基的下底寬為 ( )
A．18米 B．15米 C．12米 D．10米
10．觀察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是銳角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
11．計算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．
12．如圖28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，BC＝ ，
則AB的長為 ．
13．當x＝sin 60°時，代數式 ? ＋ 的值是 ．
14．已知cos 59°24′≈0.509，則sin 30°36′≈ ．
15．若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，則tan2A＋tan2B＝ ．
16．如圖28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝ ，則這個菱形的面積是 .
17．已知正方形ABCD的邊長為1，若將線段BD繞著點B旋轉后，點D落在DC延長線上的點D′處，則∠BAD′的正弦值為 .
18．如圖28－148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變為平行四邊形ABCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個平行四邊形的一個最小內角等于 ．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，則BC＝ ．
20．設θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為 ．則θ＝ ．
三、解答題
21．如圖28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC邊上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝ ．
(1)求DC的長；
(2)求sinB的值．
22．如圖28－150所示，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內有暗礁，一艘漁船在B處測得燈塔A在它的北偏東60°方向上，向正東方向航行8海里后到達C處，又測得該燈塔在它的北偏東30°方向上，若漁船不改變航向，繼續向正東方向航行，有沒有觸礁的危險?通過計算說明理由．
23．如圖28－151所示，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處、樓底D處測得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高．(結果保留小數點后兩位，參考數據： ≈1.414， ≈1.732)
24．如圖28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)為1： ，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點與A點有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
25．閱讀下面的材料并回答問題．
如圖28－153所示，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，過A作AD⊥BC于D，則sinB＝ ，sin C＝ ，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsin C，即 ＝ ，同理， ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ，即在—個三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等．
(1)在銳角三角形中，若已知三個元素a，b，∠A，運用上述結論和有關定理就可以求出其余三個未知元素c，∠B，∠C，請你按照下面的步驟填空，完成求解過程；
第一步：由條件a，b，∠A 求出∠B；
第二步：由條件∠A，∠B 求出∠C；
第三步：由條件 求出c；
(2)一貨輪在C處測得燈塔A在它的北偏西30°方向上，隨后貨輪以28．4海里／時的速度沿北偏東45°方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西70°方向上(如圖28－154所示)，求此時貨輪與燈塔A的距離AB．(結果保留小數點后一位，參考數據：sin 40°≈0．643，sin 65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin 75°≈0．966)
參考答案
1．A[提示：設∠A的對邊為3k，斜邊為5k，則b＝4k，∴tanB＝ ．]
2．A[提示：∵tan α＝ ，∴α＝60°，∴cosα＝ .]
3．C
4．C[提示：tanα＝ ＝3，∴旗桿高為15m．]
5．A[提示：過點D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500 ，由已知條件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500 .由tan∠BDE＝ 列方程求解．] 6．B[提示：∵sin B＝ ，∴AB＝ ＝9．]
7．A[提示：設AB＝x，則BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan 30°＝ ∴x＝(60＋x)? ，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由題意畫圖可得答案．]
10．C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cosα＜1(α是銳角)成立，tan 30°＋tan 60°＝ ＋ ≠tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]
11．2－ [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2× － ＋1＝2－ .]
12．3＋ [提示：過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BDC中，tan B＝ ．∴ ，∴BD＝3CD，∵BC＝ ，∴CD2＋(3CD)2＝( )2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tan A＝ ，∴AD＝ ，∴AB＝AD＋BD＝3＋ .]
13． [提示：∵ ? ＋ ＝2x，∴原式＝2sin 60°＝ ．]
14．0.509[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tan A?tan B＝1，tan2A＋tan2B＝(tan A－tan B)2＋2tan A?tan B＝22＋2＝6．]
16． [提示：∵cos B＝ ，設BE＝5x，則AB＝13x，∴AE＝ ＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝ ，則AE＝12x＝12× ＝ ，BC＝5x＋1＝5× ＋1＝ ，∴S＝ × ＝ ．]
17． [提示:如圖28－155所示，根據題意得DD′＝2DC，設正方形的邊長為x，則AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根據勾股定理得AD′＝ ＝ x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝ ＝ .∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝ ．]
18．30°[提示：如圖28＝156所示，∵S ABCD＝ S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)， ∴GC＝ FC．∵CF＝DC，∴GC＝ DC， ．∵∠DGC＝90°，sin 30°＝ ，∴∠CDG＝30°，即這個平行四邊形的一個最小內角為30°．]
19． ＋
20．30°[提示：x1?x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝( )2，∴sinθ＝ ，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝ ，∴設CD＝3x，則AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6． (2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝ ，∴sin B＝ ．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于D，設AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝ ＝ x，CD＝ ＝ x.∵BD－CD＝8，∴ x－ x＝8，∴x＝4 ，即AD＝4 ＝ ＜7，∴若漁船不改變航向，繼續向正東方向航行；有觸礁的危險．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝ ，∴AB＝BD?tan∠ADB＝80 ≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80 －80＝80（ －1)≈58.56(米)．答：塔高AB約為138．56米，樓高CD約為58．56米．
24．解：延長BC交AD于E點，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1： 可知∠CAE＝30°．∴CE＝AC?sin 30°＝10× ＝5，AE＝AC?cos 30°＝10× ＝5 ，在Rt△ABE中，BE＝ ＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180° a，∠A，∠C (2)解：依題意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4× ＝14．2．∵ ，∴AB＝ ≈ ≈21．3（海里）.即此時貨輪與燈塔A的距離AB約為21.3海里．
本文來自：逍遙右腦記憶 /chuer/64956.html
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